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[HNOI2010]STONE取石头游戏

时间:2018-03-13 12:10:57      阅读:228      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

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题目描述

A 公司正在举办一个智力双人游戏比赛----取石子游戏,游戏的获胜者将会获得 A 公司提供的丰厚奖金,因此吸引了来自全国各地的许多聪明的选手前来参加比赛。

与经典的取石子游戏相比,A公司举办的这次比赛的取石子游戏规则复杂了很多:

l 总共有N堆石子依次排成一行,第i堆石子有 ai个石子。

l 开始若干堆石子已被 A公司故意拿走。

l 然后两个玩家轮流来取石子,每次每个玩家可以取走一堆中的所有石子,但有一个限制条件:一个玩家若要取走一堆石子,则与这堆石子相邻的某堆石子已被取走(之前被某个玩家取走或开始被A公司故意拿走)。注意:第 1堆石子只与第 2堆石子相邻,第N堆石子只与第N-1堆石子相邻,其余的第 i堆石子与第i-1堆和第 i+1 堆石子相邻。

l 所有石子都被取走时,游戏结束。谁最后取得的总石子数最多,谁就获得了这场游戏的胜利。

作为这次比赛的参赛者之一,绝顶聪明的你,想知道对于任何一场比赛,如果先手者和后手者都使用最优的策略,最后先手者和后手者分别能够取得的总石子数分别是多少。

输入输出格式

输入格式:

第一行是一个正整数N,表示有多少堆石子。输入文件第二行是用空格隔开的N个非负整数a1, a2, ..., aN,其中ai表示第i堆石子有多少个石子,ai = 0表示第i堆石子开始被A公司故意拿走。输入的数据保证0<=ai<=100,000,000,并且至少有一个i使得ai = 0。30%的数据满足2<=N<=100,100%的数据满足2<=N<=1,000,000。

输出格式:

仅包含一行,为两个整数,分别表示都使用最优策略时,最后先手者和后手者各自能够取得的总石子数,并且两个整数间用一个空格隔开。

输入输出样例

输入样例#1: 复制
输出样例#1: 复制
者取得9 + 1 + 7 = 17个石子,后手者取得2 + 4 + 3 = 9个石子。
本题和一般的博弈问题不一样。本题不讨论输赢,只让选手得到尽量多的石子。
由于双方最终石子数之和是确定的,双方的目标就是使自己-别人的石子数差最大
化。
首先我们可以抽象问题:
有两个栈,若干个双头队列,总长度不超过$10^{6}$
每次可以从栈顶取一个数,也可以从双头队列选一端取一个数。
$2$人轮流以最大化自己数字和的目标取数,问最终结果。
如果只有一个栈,那么取法是一定的。
如果只有一个队列,如果是奇数个,取法也是一定的。如果是偶数个,先手会取
max(奇数位的和,偶数位的和).
本题的关键难点是组合策略。
如果可取元素都是递减的,比如
1 2 3 0 2 1 2 0 4 1
容易发现先手只要贪心地从能取的元素里面拣最大的取走即可。
这样不会给后手好情况。
由于每次一定可以取全场最大值,所以只要一次排序然后交替取值即可。
4 3 2 2 2 1 1 1
如果不是这样,我们可以通过 2 个操作来化简数列:
1. 如果最左端是 A B.. 或者最右端是..B A, 且 A>=B
那么双方在有其它方案时都不会愿意先取走 B,故这种情况可以留到博弈的最后。
由于石子数是确定的,可以直接推出最后谁取到了 A,算出相应差值。
由于可以留到游戏的最后,此时删除这两堆并不影响两人之前的决策。
2. 如果有一段 ..A B C..
且满足 B>=A B>=C
那么我们直接把 ABC 替换成一个 A+C-B 即可。
我们可以这样想:选 A,B,C 的时候是因为没有更好的决策而被迫选的。事实上当
全场没有大于 A+C-B 的石子堆可以直接取时,才会考虑取 A,C 中的一个。那么不管第
一次取 A,B,C 中的元素是从哪边,后手一定也没有别的更好的选择,既然先手选 A/C
都已是被迫了,所以后手选 B 一定不会是差的。留下来的一个也一定是当前不差的选
择。故先手一定取走 A+C,后手取走 B。从对分数差的贡献来看,我们可以直接把 A,B,C
代替成 A+C-B
 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cmath>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long lol;
 8 int n,top,pd[1000001],l,r,cnt,tot;
 9 lol st[1000001],ans,sum,a[1000001];
10 bool cmp(lol a,lol b)
11 {
12   return a>b;
13 }
14 int main()
15 {int i;
16   cin>>n;
17   for (i=1;i<=n;i++)
18     {
19       scanf("%lld",&st[++top]);
20       sum+=st[top];
21       if (st[top]==0) pd[top]=1;
22       tot+=(bool)st[top];
23       while (top>2&&(!pd[top])&&(!pd[top-1])&&(!pd[top-2])&&(st[top-1]>=st[top])&&(st[top-1]>=st[top-2]))
24     {
25       st[top-2]=st[top]+st[top-2]-st[top-1];
26       top-=2;
27     }
28     }
29   for (l=1;(!pd[l])&&(!pd[l+1])&&(st[l]>=st[l+1]);l+=2)
30     ans+=tot&1?st[l]-st[l+1]:st[l+1]-st[l];
31   for (r=top;(!pd[r])&&(!pd[r-1])&&(st[r]>=st[r-1]);r-=2)
32     ans+=tot&1?st[r]-st[r-1]:st[r-1]-st[r];
33   for (i=l;i<=r;i++)
34     if (pd[i]==0) a[++cnt]=st[i];
35   sort(a+1,a+cnt+1,cmp);
36   for (i=1;i<=cnt;i++)
37     {
38       if (i&1) ans+=a[i];
39       else ans-=a[i];
40     }
41   cout<<(sum+ans)/2<< <<(sum-ans)/2<<endl;
42 }

 

[HNOI2010]STONE取石头游戏

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原文地址:https://www.cnblogs.com/Y-E-T-I/p/8555129.html

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