[NOI2012]骑行川藏

题目描述

蛋蛋非常热衷于挑战自我，今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景，但在这一路上也有着很多的艰难险阻，路况变化多端，而蛋蛋的体力十分有限，因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。

由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车，因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功（不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响）。某一天他打算骑N段路，每一段内的路况可视为相同：对于第i段路，我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi‘ ，其中 si 表示这段路的长度， ki 表示这段路的风阻系数， vi‘ 表示这段路上的风速（表示在这段路上他遇到了顺风，反之则意味着他将受逆风影响）。若某一时刻在这段路上骑车速度为v，则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi‘ )2（这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变，则他消耗能量（做功）E = ki ( v - vi‘ )2 s）。

设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ，请帮助他设计一种行车方案，使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。

输入输出格式

输入格式：

第一行包含一个正整数N和一个实数Eu，分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。

接下来N行分别描述N个路段，每行有3个实数 si , ki , vi‘ ，分别表示第 i 段路的长度，风阻系数以及风速。

输出格式：

输出一个实数T，表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间，要求至少保留到小数点后6位。

输入输出样例

3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6

12531.34496464

说明

【数据规模与约定】

对于10%的数据，N=1；

对于40%的数据，N<=2；

对于60%的数据，N<=100；

对于80%的数据，N<=1000；

对于所有数据，N <= 10000，0 <= Eu <= 108，0 < si <= 100000，0 < ki <= 1，-100 < vi‘ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。

【提示】

必然存在一种最优的体力方案满足：蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。

初学拉格朗日乘数法。

把原函数和约束函数*μ合成之后，我们要让每个变量的偏导是0.

对于本题来说，就是对于任意i，有2 * μ * k[i] * (x[i] - v[i]) = 1 (这个求一下导就好了嘛)

并且有 (∑k[i] * s[i] * (x[i] - v[i])^2 - E)=0 ,(μ的偏导，因为本题只有一个约束。。。)

然后发现μ一定的时候，每个x可以二分求出来；

然后又因为μ越小的时候x越大，而此时μ的偏导也越大。

所以μ的偏导关于μ也有单调性。

所以我们直接二分μ即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define D double
#define maxn 10005
using namespace std;
const D eps=1e-12;
D E,s[maxn],u[maxn];
D k[maxn],v[maxn],tot=0;
int n;

inline void calc(int pos,D miu){
	D l=u[pos],r=1e9,mid;
	while(r-l>=eps){
		mid=(l+r)/2;
		if(2.00*miu*k[pos]*mid*mid*(mid-u[pos])>=1.00) r=mid;
		else l=mid;
	}
	v[pos]=mid;
}

inline bool work(D miu){
	D energy=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		calc(i,miu);
		energy+=k[i]*s[i]*(v[i]-u[i])*(v[i]-u[i]);
	}
	return E-energy>=-eps;
}

int main(){
	scanf("%d%lf",&n,&E);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",s+i,k+i,u+i);
	D l,r,mid,an;
	l=0.0,r=1e9;
	while(r-l>=eps){
		mid=(l+r)/2;
		if(work(mid)) r=mid;
		else l=mid;
	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		calc(i,mid);
		tot+=s[i]/v[i];
	}
	
	printf("%.11lf\n",tot);
	return 0;
}