题意 一个字符串开始，每次有$\frac{pa}{pa+pb}$的概率在后面加一个a，$\frac{pb}{pa+pb}$的概率在后面加一个$b$。
求当整个串中有至少$k$个$ab$的时候（不需要连续，下同），字符串中$ab$个数的期望。
设$f[i][j]$为字符串有$i$个$a$，$j$个$ab$的时候字符串中$ab$个数的期望
设$p = \frac{pa}{pa+pb}$, $q = \frac{pb}{pa+pb}$
那么对于正常的情况（非边界情况），
$f[i][j] = f[i+1][j] * p + f[i + 1][i + j] * q$
对于边界情况，即当$i + j >= k$且$j < k$的时候，这个时候再加一个$a$就满足了题意的条件。
这个情况下$f[i][j] - i - j$应该都是一样的。令$f[i][j] - i - j = c$。
$c = pq + 2p^{2}q + 3p^{3}q + ... + ...$
时间复杂度$O(n^{2})$
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i, a, b) for (int i(a); i <= (b); ++i)
#define dec(i, a, b) for (int i(a); i >= (b); --i)
const int N = 1e3 + 10;
const int mod = 1e9 + 7;
int f[N][N];
int k, pa, pb, A, B, C;
void gcd(int a, int b, int &x, int &y){
if (!b) {x = 1; y = 0;}
else { gcd(b, a % b, y, x); y -= x * (a / b);}
}
int inv(int a){
int x, y;
gcd(a, mod, x, y);
return (x % mod + mod) % mod;
}
int main(){
scanf("%d%d%d", &k, &pa, &pb);
A = 1ll * pa * inv(pa + pb) % mod;
B = (1 - A + mod) % mod;
C = 1ll * pa * inv(pb) % mod;
dec(i, k, 1){
dec(j, k, 0){
f[i][j] = i + j >= k ? (i + j + C) % mod: (1ll * A * f[i + 1][j] + 1ll * B * f[i][i + j]) % mod;
}
}
printf("%d\n", f[1][0]);
return 0;
}
