定积分初步

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一、概述

形式

形如这个东西的就是定积分了\[\int_a^bf(x)dx\]具体参见高等数学上册\(P224\)

求法

找到一个\(g(x)\)使得\(f(x)\)是\(g(x)\)的导函数
\[\int_a^bf(x)dx=g(x)|_a^b=g(b)-g(a)\]一般来说常用的导函数公式是\((x^a)'=a×x^{a-1}\)

几何意义

表示\(f(x)\)在\([a,b]\)上与\(x\)轴围成的面积，如果在\(x\)轴下方要算负的

二、应用

数学方面

• 求\(y^2=2x\)与直线\(y=x-4\)围成的图形的面积（高数上册\(P277\)）
• 证明旋转体圆锥的体积公式

信息方面

• 2018.3.15考试题T3：求\(max(\sum_{i=1}^{n}x_i^m,0)\)的期望值，其中\(x_i\)为随机均匀的\([l_i,r_i]\)的实数

PS：第一个应用题的图形面积为18