1、什么是逆元
当求解公式：(a/b)%m 时，因b可能会过大，会出现爆精度的情况，所以需变除法为乘法：
设c是b的逆元，则有b*c≡1(mod m)；
则(a/b)%m = (a/b)*1%m = (a/b)*b*c%m = a*c(mod m);
即a/b的模等于a*b的逆元的模；
2、求逆元的几种方法
(1).费马小定理
在p是素数的情况下，对任意整数x都有x^p≡x(mod)p。
如果x无法被p整除，则有x^(p?1)≡1(modp) 。
可以在p为素数的情况下求出一个数的逆元，x?x^(p?2)≡1(modp) ，x^(p?2)即为逆元。
程序代码：
const int mod = 1000000009; long long quickpow(long long a, long long b) { if (b < 0) return 0; long long ret = 1; a %= mod; while(b) { if (b & 1) ret = (ret * a) % mod; b >>= 1; a = (a * a) % mod; } return ret; } long long inv(long long a) { return quickpow(a, mod - 2); }
(2).扩展欧几里得算法求逆元
扩展欧几里得算法可以参考小白书；
百度百科-乘法逆元中有这样一个例子:
例如：4关于1模7的乘法逆元为多少？
4X≡1 mod 7
这个方程等价于求一个X和K，满足
4X=7K+1
其中X和K都是整数。
求x，k就是扩展欧几里得算法了吧~
可扩展欧几里得求逆元ax≡1(mod n)其中a，n互质；
复杂度：O(logn)；
ll extend_gcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) { if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } else { ll r = extend_gcd(b, a % b, y, x); y -= x * (a / b); return r; } } ll inv(ll a, ll n) { ll x, y; extend_gcd(a, n, x, y); x = (x % n + n) % n; return x; }
（3）.递推法求逆元
证明：
设x = p % a,y = p / a
于是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移项得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p – y) * inv(x) % p
于是 inv(a) = (p – p / a) * inv(p % a) % p
然后一直递归到1为止，因为1的逆元就是1
代码：
const int mod = 1000000009; ll inv(ll a) { return a == 1 ? 1 : (mod - mod / a) * inv(mod % a, mod) % mod; }
