浅析Nim游戏和ICG博弈

首先我们看例题：P2197 nim游戏

2
2
1 1
2
1 0

No
Yes

 讲解：

本题就是最最经典的nim游戏了。nim游戏过程中面临的状态叫做局面，第一个行动的为先手，第二个行动的为后手。考虑两人无比聪明，则必败局面仅当该局面所能到达的局面均为必败局面时出现，而必胜局面仅当后续局面存在至少1个必胜局面时出现，显然nim游戏中1为必胜局面（因为拿走1就赢了）。显然，nim游戏是不存在平局的，只有先手必赢或先手必输两种情况。

定理：设各堆为a₁、a₂…a_n，则nim游戏先手必赢仅当a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n≠0.

证明：

　　首先，当石子均被取完时，则a数组都为0，存在a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=0，因为每次取都会使石子数减少，当前局面若a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n≠0，我们只要保证能在取走一些石子后使得a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=0，则必然保证自己能取走最后一个石子获得胜利。

　　等价于证明：

　　（1）当a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n≠0时，存在某种取法使得剩下的石子xor和为0。

　　（2）当a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=0时，不存在取法使得剩下的石子xor和为0。（即取走一些石子后必定Xor和不为0）

　　首先证明（1），对于任何一个局面a₁ Xor a₂ Xor…Xor a_n=x≠0，设x的二进制最高位的1在第k位，则至少存在一堆石子a_i的二进制第k位是1（因为我们是Xor运算，某一位上的1不会凭空出现）且a_i≥x。由Xor运算法则知：x Xor a_i<a_i，（因为至少会使第k为上的1变为0）。于是我们从a_i这堆里取走一些石子，使得a_i堆剩下的石子数变为a_i Xor x，此时再对剩下的各堆进行上述运算：a₁ Xor a₂ Xor…ai Xor x…Xor a_n=x Xor x=0，此时Xor和为0。 于是得证（1）。

　　再来证明（2），对于任何一个局面a₁ Xor a₂ Xor…Xor ai Xor…a_n=0，我们反证：假设取走a_i堆中的一些石子使a_i变为了x，使得a₁ Xor a₂ Xor…Xor x Xor…a_n≠0，则显然是不可能的，因为开始Xor和就为0再由Xor运算的性质当ai变为x后若Xor和为0，当且仅当ai=x时成立。而nim游戏中不能不取，所以若当前局面Xor和为0,则必然会使下一局面Xor和不为0。于是（2）得证。

结论：nim游戏只要满足先手的Xor和不为0，则先手必赢，否则先手必输。

代码：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 il ll gi()
 7 {
 8     ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<‘0‘||x>‘9‘)&&x!=‘-‘)x=getchar();
10     if(x==‘-‘)x=getchar(),f=1;
11     while(x>=‘0‘&&x<=‘9‘)a=a*10+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 ll t,n,a[100005];
15 int main()
16 {
17     t=gi();
18     while(t--){
19         n=gi();ll x=0;
20         for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(),x^=a[i];
21         if(x)puts("Yes");
22         else puts("No");
23     }
24     return 0;
25 }