0 问题
给定两个字符串，求最长公共子序列LCS。
也就是说两个字符串中都有的部分，或者理解为，两个字符串同时都删除字符串中的某些字符，使得最终的两个字符串，相等，且是最长的。
1 分析
假设两个str1，str2字符串，已经知道了最长公共子序列长度为L
那么，当在str1和str2，两个的尾部，同时添加一个相同的字符，比如a，那么新的str1，和str2的最长公共子序列长度就是L+1
当str1后面添加一个字符，str2不添加，那么最长公共子序列长度为L
反之，str1不添加，str2添加，那么也是L
当同时添加一个字符，但是添加不同的字符，那么长度仍为L
因此，可以考虑
int lcs(string str1, string str2)
{
int len1 = str1.size();
int len2 = str2.size();
// memo[i][j] 中记录的是，字符串从第0个字符开始，长度为i，或是j的子数组的lcs长度
vector<vector<int>> memo(len1 + 1, vector<int>(len2 + 1, 0));
// i,j都是长度，表示从第0个字符开始长为i或j的子字符串
// 因此使用的是 str1[i - 1] == str2[j - 1] 来比较
// i,j都不断的递增，则可认为是不断的添加字符
for (int i = 1; i <= str1.size(); ++i)
{
for (int j = 1; j <= str2.size(); ++j)
{
if (str1[i - 1] == str2[j - 1])
{
// 当两个字符相同的时候，就认为，是比之前的子数组的lcs长度大1
memo[i][j] = memo[i - 1][j - 1] + 1;
}
else
{
// 如果新添加的两个字符不相同，那么取之前的 L
// 但是可能是str1 加字符得来的，也可能是str2 加字符得来的，因此需要取两个前状态的lcs的长度最大值
if (memo[i - 1][j] > memo[i][j - 1])
{
memo[i][j] = memo[i - 1][j];
}
else
{
memo[i][j] = memo[i][j - 1];
}
}
}
}
return memo[len1][len2];
}
或者说，也可以这样考虑，
str1，和str2，当最后一个字符相同，那么，str1，和str2的最长公共子序列的长度应该是，str-1和str2-1的最长公共子序列长度+1
当最后一个字符不相同的时候，那么，str1，和str2的最长公共子序列的长度应该是（str1-1和str2）与（str1和str2-1）的最长公共子序列长度的较大的那个。
但是这样计算大量相同的问题，因此加上memo
int aux_lcs_d(string str1, int l1, string str2, int l2,vector<vector<int>> &memo)
{
if (l1 < 0 || l2 < 0)
{
return 0;
}
if(memo[l1][l2] != 0)
{
return memo[l1][l2];
}
if (str1[l1] == str2[l2])
{
memo[l1][l2]= aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2 - 1,memo) + 1;
return memo[l1][l2];
}
else
{
memo[l1][l2]= max(aux_lcs_d(str1, l1, str2, l2 - 1,memo), aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2,memo));
return memo[l1][l2];
}
}
int lcs_d(string str1,string str2)
{
vector <vector<int>> memo(str1.size(),vector<int>(str2.size(),0));
return aux_lcs_d(str1, str1.size()-1, str2, str2.size()-1,memo) ;
}
以上就是计算lcs长度的思路.
当需要计算出完成的路径时。添加一个额外的容器，记录，每个状态是怎么从前一个状态转移过来的
int aux_lcs_d(string str1, int l1, string str2, int l2,vector<vector<int>> &memo,vector<vector<int>> &path)
{
if (l1 < 0 || l2 < 0)
{
return 0;
}
if(memo[l1][l2] != 0)
{
return memo[l1][l2];
}
if (str1[l1] == str2[l2])
{
path[l1][l2]=‘0‘; // 这个表示从str1 ，str2同时增长来的
memo[l1][l2]= aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2 - 1,memo,path) + 1;
return memo[l1][l2];
}
else
{
int tmp1=aux_lcs_d(str1, l1, str2, l2 - 1,memo,path);
int tmp2=aux_lcs_d(str1, l1 - 1, str2, l2,memo,path);
memo[l1][l2]= max(tmp1,tmp2);
if(tmp1==memo[l1][l2])
{
// 表示从 str2 增长来的
path[l1][l2]=‘2‘;
}else{
// 从str1 增长来的
path[l1][l2]=‘1‘;
}
return memo[l1][l2];
}
}
