BZOJ 3597 SCOI2014 方伯伯送椰子网络流分析+SPFA

四川的方伯伯为了致富，决定引进海南的椰子树。方伯伯的椰子园十分现代化，椰子园中有一套独特的交通系统。

现在用点来表示交通节点，边来表示道路。这样，方伯伯的椰子园就可以看作一个有 n + 2 个交通节点，m条边的有向无环图。n +1 号点为入口，n +2 号点为出口。每条道路都有 6 个参数，ui，vi，ai，bi，ci，di，分别表示，该道路从 ui 号点通向 vi 号点，将它的容量压缩一次要 ai 的花费，容量扩大一次要 bi 的花费，该条道路当前的运输容量上限为 ci，并且每单位运输量通过该道路要 di 的费用。

在这个交通网络中，只有一条道路与起点相连。因为弄坏了这条道路就会导致整个交通网络瘫痪，聪明的方伯伯决定绝不对这条道路进行调整，也就是说，现在除了这条道路之外，对其余道路都可以进行调整。

由于很久以前，方伯伯就请过一个工程师，对这个交通网络进行过一次大的优化调整。所以现在所有的道路都被完全的利用起来了，即每条道路的负荷都是满的（每条道路的流量等于其容量）。

但方伯伯一想到自己的海南椰子会大丰收，就十分担心巨大的运输量下，会导致过多的花费。因此，方伯伯决定至少进行一次调整，调整之后，必须要保持每条道路满负荷，且总交通量不会减少。

设调整后的总费用是 Y，调整之前的总费用是 X。现在方伯伯想知道，最优调整比率是多少，即假设他进行了 k 次调整，(X - Y)/k最大能是多少？

Input

第一行包含二个整数N，M接下来M行代表M条边，表示这个交通网络每行六个整数，表示Ui,Vi,Ai,Bi,Ci,Di接下来一行包含一条边，表示连接起点的边

Output

一个浮点数，保留二位小数。表示答案，数据保证答案大于0

Sample Input

5 10
1 5 13 13 0 412
2 5 30 18 396 148
1 5 33 31 0 39
4 5 22 4 0 786
4 5 13 32 0 561
4 5 3 48 0 460
2 5 32 47 604 258
5 7 44 37 75 164
5 7 34 50 925 441
6 2 26 38 1000 22

Sample Output

HINT

1<=N<=500,0<=M<=3000,1<=Ui,Vi<=N+2,0<=Ai,Bi<=500,0<=Ci<=10000,0<=Di<=1000

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题意概述：
·给出一个N+2个点M条边的DAG图，这是一张网络，每条边有缩容1的代价a，扩容1的代价b，流量上限c，流量费用d。一开始网络中每条边都是满流的。现在可以对网络进行一些调整（不包括和起点相连的唯一的那条边），调整之后使得网络中的所有边依旧满流（即同时流量大小不变）。
·假设进行了K次调整，调整之前的总流量费用为X，调整中花费的费用以及调整之后的流量费用为Y，问(X-Y)/K的最大值（答案保证大于0）。

分析：
·哎呀呀先分析性质。。。。。
·题目给的(X-Y)/K长得很难看。。发现每一次操作只会让某一条边新的流量的代价增加/减少单位代价，所以说这个式子实际上求的是合法调整方案每次操作的单位代价。
·最终的总流量不能变，那么事实上我们不能增流或者减流，只能调整流量。在残量网络之中一个合法的改流对应了一个环（可以递归证明，因为这是个DAG图所以不存在正权环无效改流的情况）。对于一次增流操作，付出的代价为d+b；对于一次减流操作，得到的收益为d-a。当存在一个环中所有边的调整代价为负数，即得到一个负权环的时候，这种调整给我们带来了收益。
·题目的问法显然是个最优比率问题，那么考虑二分答案。假设当前二分到的值为m，假设存在一种方案，所有被操作的边的收益和为sum，操作边的数量为cnt，那么有sum/cnt>=m，虽然这其中可能有很多个环，但是根据糖水原理一定至少包含一个环单独满足这个性质。于是对于这单独的一个环，式子变成：cnt*m-sum<=0，cnt表示的是环上边的数量。分到每条边的头上就是sum{m-w}<=0，其中w代表的是这条边的收益（原图的边正向连边，收益-(d+b)，反向连边，收益为(d-a)）。对于原图中没有流量的边，不连反向边。二分答案的时候看有没有负权环，有的话说明答案成立，可以往大猜，否则不成立，只能往小猜。
·二分下界为0，上界为所有边d的和。
·最坏时间复杂度：O((34)*N*M)

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<queue>
 7 #include<set>
 8 #include<map>
 9 #include<vector>
10 #include<cctype>
11 #define inf (1e9+5)
12 using namespace std;
13 const int maxn=505;
14 const int maxm=3005;
15 const double eps=1e-4;
16 
17 int N,M;
18 struct net_edge{ int u,v,a,b,c,d; }NE[maxm];
19 struct edge{ int to,next; double w; }E[maxm<<1];
20 int first[maxn],np,inq[maxn],inc[maxn],sum; double dist[maxn];
21 
22 void data_in()
23 {
24     scanf("%d%d",&N,&M);
25     for(int i=1;i<=M;i++){
26         scanf("%d%d%d%d%d%d",&NE[i].u,&NE[i].v,&NE[i].a,&NE[i].b,&NE[i].c,&NE[i].d);
27         sum+=NE[i].d;
28     }
29 }
30 void add_edge(int u,int v,double w)
31 {
32     E[++np]=(edge){v,first[u],w};
33     first[u]=np;
34 }
35 bool SPFA()
36 {
37     for(int i=1;i<=N+2;i++) dist[i]=inf,inc[i]=inq[i]=0;
38     queue<int>q;
39     q.push(N+1);
40     dist[N+1]=0,inq[N+1]=1,inc[N+1]=1;
41     while(!q.empty()){
42         int i=q.front(); q.pop();
43         inq[i]=0;
44         for(int p=first[i];p;p=E[p].next){
45             int j=E[p].to;
46             if(dist[i]+E[p].w<dist[j]){
47                 dist[j]=dist[i]+E[p].w,inc[j]++;
48                 if(inc[j]==N+2) return 1;
49                 if(!inq[j])    inq[j]=1,q.push(j);
50             }
51         }
52     }
53     return 0;
54 }
55 bool check(double m)
56 {
57     memset(first,0,sizeof(first));
58     np=0;
59     for(int i=1;i<=M;i++){
60         add_edge(NE[i].u,NE[i].v,m+(NE[i].d+NE[i].b));
61         if(NE[i].c) add_edge(NE[i].v,NE[i].u,m-(NE[i].d-NE[i].a));
62     }
63     return SPFA();
64 }
65 void work()
66 {
67     double L=0,R=sum,mid,ans=0;
68     while(R-L>=eps){
69         mid=(L+R)/2;
70         if(check(mid)) ans=mid,L=mid;
71         else R=mid;
72     }
73     printf("%.2f\n",ans);
74 }
75 int main()
76 {
77     data_in();
78     work();
79     return 0;
80 }

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