62. Unique Paths

class Solution_62 {
public:
    int uniquePaths(int m, int n) {
        //matrix(m*n)
        vector<vector<int>> vecs(m, vector<int>(n, 1));

        for (int i = 1; i < m;i++)
        {
            for (int j = 1; j < n;j++)
            {
                vecs[i][j] = vecs[i - 1][j] + vecs[i][j - 1];
            }
        }
        return vecs[m-1][n-1];
    }

    int uniquePaths1(int m, int n) {
        vector<int > vec(n, 1); //压缩空间
        for (int i = 0; i < m; i++)
        for (int j = 0; j < n; j++)
        if (i * j != 0)
            vec[j] += vec[j - 1];
        return vec[n - 1];
    }

//      链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/166eaff8439d4cd898e3ba933fbc6358
//      动态规划的复杂度也是n方，可以用排列组合的方式，复杂度为n
//      只能向右走或者向下走，所以从一共需要的步数中挑出n - 1个向下走，剩下的m - 1个就是向右走
//      其实就是从（m - 1 + n - 1）里挑选（n - 1）或者（m - 1）个，c(n, r)     n = （m - 1 + n - 1）, r = （n - 1）
//      n!/ (r!* (n - r)!)

    //注意观察到，可以发现循环的值是；C(n, m) = n!/ (m!*(n - m)!)，因为n值过大，不可以直接用公式
    //组合数学的递推公式：C(m,n)=C(m,n-1)+C(m-1,n-1)
    //C(n, 1) = n; C(n, n) = 1; C(n, 0) = 1;这样就可以用DP了

    int fun(int n, int m)
    {
        if (m==1)
        {
            return n;
        }
        if (n==m||m==0)
        {
            return 1;
        }
        return fun(n-1, m ) + fun(n - 1, m - 1);    //超时
    }
    int uniquePaths2(int m, int n) {
        
        n = (m - 1 + n - 1);
        m = (m - 1);
        
        int ret=fun(n,m);

        return ret;
    }


};