为什么要学习不同的筛法?
原因很简单，因为通常当我们需要运用欧拉函数等一系列函数的时候，我们会采取提前预处理的方法来提高我们的效率。既然要提升效率，那么我们就需要尽量用优秀一下的方法来完成我们的要求。
线性筛的出发点是什么？
我们利用的最重要的性质就是它的积性。那么积性是什么？我们分为积性和完全积性。积形函数具有如下的性质：
\(F( a * b ) = F( a ) * F( b ) ( gcd( a , b ) = 1 )\)
而完全积性函数就是没有互质这个限定条件
\(F( a * b ) = F( a ) * F( b )\)
那么由欧拉函数，莫比乌斯函数的定义很容易的就可以得到它们是一个积性函数。因此，自然而然就可以想到，我们可以通过求出两个互质的数 a , b 的函数值 来推出 a * b 对应的函数值
所以就有了一下这个筛法:
/* 线性筛求出莫比乌斯函数的值
利用积性函数的性质 */
mu[1] = 1;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
{
if(not_prime[i] == 0)
{
tot++;
prime[tot] = i; mu[i] = -1;
}
for(int j = 1; prime[j] * i <= n; ++j)
{
not_prime[prime[j] * i] = 1;
if(i % prime[j] == 0)
{
mu[prime[j] * i] = 0;
break;
}
mu[prime[j] * i] = -mu[i];
}
}
/* 线性筛欧拉函数 */
void get_eular()
{
pnum = 0;
for(int i = 2; i < MAX; i++)
{
if(!noprime[i])
{
p[pnum ++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for(int j = 0; j < pnum && i * p[j] < MAX; j++)
{
noprime[i * p[j]] = true;
if(i % p[j] == 0)
{
phi[i * p[j]] = phi[i] * p[j];
break;
}
phi[i * p[j]] = phi[i] * (p[j] - 1);
}
}
} 现在我们来解释一下这个代码：
首先，这一系列函数分为两个部分，质数与非质数。
那么对于质数，我们应该先进行一次特殊处理。原因有两个：
（1） 质数的计算方法不方便使用积性函数的性质，理应特殊处理（注：不同函数有对应的方法）
（2） 质数处理了以后，我们要通过它去求得更多的函数值。
对于非质数，运用积性函数的性质进行计算
那么则是循环语句中最关键的几句话
你每循环到一个 i ，就应该算出 i 的倍数的对应的函数值。又因为质数的性质，只有当 i 是一个质数的倍数的时候它们才可能不互质。所以这是一个临界条件。
既然这样，我们再讨论一下为什么能够break？
我们担心的无非就是会不会有遗漏？显然我们不需要担心这一点，原因很简单：
每一个数一定会被它最小的质因数给计算到，而刚好在计算以后 ———— break；
所以不会有遗漏的情况
因此有了这种常用的线性筛法
