码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

数据结构之二叉树

时间:2018-03-21 17:29:25      阅读:197      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:出现   返回   存储   后序遍历   空指针   下标   树的遍历   分享   mat   

概要

参考《大话数据结构》,把常用的基本数据结构梳理一下。

本节介绍二叉树。

?


定义

??二叉树(Binary Tree)是 \(n\)\(n \geqslant 0\))个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树),或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树右子树的二叉树组成。

二叉树的特点:

  • 每个结点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在大于 \(2\) 的结点。
  • 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
  • 即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

??所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树

??在一棵二叉树中,如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树

??对一棵具有 \(n\) 个结点的二叉树按层序编号,如果编号为 \(i\)\(1 \leqslant i \leqslant n\))的结点与同样深度的满二叉树中编号为 \(i\) 的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。如图:

技术分享图片

注意:首先满二叉树一定是一棵完全二叉树,但完全二叉树又不一定是满的,其次按层序编号相同的结点是一一对应的。从这里得出一些完全二叉树的特点:

  • 叶子结点只能出现在最下两层
  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
  • 倒数二层,若有叶子结点,一定都在右部连续位置
  • 如果结点度为 \(1\),则该结点只有左孩子,即不存在只有右子树的情况
  • 同样结点数的二叉树,完全二叉树的深度最小

?

二叉树的性质

??性质 1: 在二叉树的第 \(i\) 层上至多有 \(2^{i-1}\) 个结点(\(i \geqslant 1\))。

??性质 2: 深度为 \(k\) 的二叉树至多有 \(2^k-1\) 个结点(\(k \geqslant 1\))。

??性质 3: 对任何一棵二叉树 \(T\),如果其终端结点数为 \(n_0\),度为 \(2\) 的结点数为 \(n_2\),则 \(n_0 = n_2 +1\).

说白了就是叶子结点数比度为 \(2\) 的结点数多一个。我们设 \(n_1\) 为度是 \(1\) 的结点数。则树 \(T\) 的结点总数 \(n=n_0+n_1+n_2\). 我们换个角度数一数树的连接线数,度为 \(1\) 的分支线为 \(1\) 条,度为 \(2\) 的分支线为 \(2\) 条,即共 \(n_1+2n_2\) 条,又显然树的连接树为结点总数减去 \(1\),即 \(n-1 = n_1+ 2n_2\),即 \(n_0 = n_2 +1\).

??性质 4: 具有 \(n\) 个结点的完全二叉树的深度为 \(floor(\log_2n)+1\)\(floor(x)\) 表示不超过 \(x\) 的最大整数)。

??性质 5: 如果对一棵有 \(n\) 个结点的完全二叉树(其深度为 \(floor(\log_2n)+1\))的结点按层序编号(从第一层到 \(floor(\log_2n)+1\) 层,每层从左到右),对任一结点 \(i\)\(1 \leqslant i \leqslant n\))有:

  1. 如果 \(i=1\),则结点 \(i\) 是二叉树的根,无双亲;如果 \(i>1\),则其双亲是结点 \(floor(i/2)\).
  2. 如果 \(2i>n\),则结点 \(i\) 无左孩子(结点 \(i\) 为叶子结点);否则其左孩子是结点 \(2i\).
  3. 如果 \(2i+1>n\),则结点 \(i\) 无右孩子,否则其右孩子是结点 \(2i+1\).

可以与上图结点理解。

?

二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构

二叉树的顺序存储结构是用一维数组存储二叉树的结点,并且结点的存储位置,也就是数组的下标要能体现结点之间的逻辑关系。比如下面一棵完全二叉树:

技术分享图片

将这棵二叉树存入到数组中,相应的下标对应其同样的位置,如下图:

技术分享图片

对于一般的二叉树,尽管层序编号不能反映逻辑关系,但是可以将其按完全二叉树编号,只不过,把不存在的结点设置为空就行了。但是像极端的情况比如深度为 \(k\) 的右斜树,它只有 \(k\) 个结点,却需要分配 \(2^k-1\) 个存储单元空间,造成了极大的空间浪费,所以顺序存储结构一般只用于完全二叉树。

?

二叉链表

二叉树每个结点最多有两个孩子,所以为它设计一个数据域和两个指针域是比较自然的想法,我们称这样的链表叫做二叉链表。如图:

技术分享图片

其中 data 是数据域, lchild 和 rchild 都是指针域,分别存放指向左孩子和右孩子的指针。二叉链表的结点结构定义代码如下:

typedef int TElemType; // TElemType 类型根据实际情况而定,这里假设为 int

struct BiTNode
{
    TElemType data;
    BiTNode *lchild, *rchild;
};

如果有需要,还可以再增加一个指向双亲的指针域,那样就称之为三叉链表
?

遍历二叉树

??二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中所有结点,使得每个结点被访问一次且仅被访问一次

二叉树的遍历方式很多,如果我们限制了从左到右的习惯方式,那么主要分为四种:

  1. 前序遍历。规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则先访问根结点,然后前序遍历左子树,再前序遍历右子树。如图,遍历顺序为:ABDGHCEIF.

    技术分享图片

  2. 中序遍历。规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则从根结点开始(注意并不是先访问根结点),中序遍历根结点的左子树,然后访问根结点,最后中序遍历右子树。如图,遍历顺序为:GDHBAEICF.

    技术分享图片

  3. 后序遍历。规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树,最后是访问根结点。如图,遍历顺序为:GHDBIEFCA.

    技术分享图片

  4. 层序遍历。规则是若二叉树为空,则空操作返回,否则从树的第一层,也就是从根结点开始访问,从上而下逐层遍历,在同一层中,按从左到右的顺序对结点逐个访问。如图,遍历顺序为:ABCDEFGHI.

    技术分享图片

?

二叉树树的建立与遍历代码实现

如果我们要在内存中建立一个如下左图这样的二叉树,为了能让每个结点确认是否有左右孩子,我们对它进行扩展,就右图的样子,也就是将二叉树中每个结点的空指针引出一个虚结点,其值为一个特定值,比如“#”。我们称这种处理后的二叉树为原二叉树的扩展二叉树。扩展二叉树就可以做到一个遍历序列确定一棵二叉树。比如右图的遍历序列就为 AB#D##C##.

技术分享图片

有了这样的准备就可以着手建立二叉树了。创建二叉树同遍历方法一样,也有不同的创建方法。现在我们用前序实现二叉树的建议。代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>  //getchar()

using namespace std;

typedef char TElemType; // TElwmType 类型根据实际情况而定,这里假设为 int

struct BiTNode
{
    TElemType data;
    BiTNode *lchild, *rchild;
};

void CreateBiTree(BiTNode* (&T))  //这里传入的是指针的引用,因为牵扯到修改指针的值
{
    //读入字符串 ch, 前序构造树
    //cout<<"请输入创建一棵二叉树的结点数据"<<endl;
    TElemType ch = getchar();
    //cin>>ch;
    if (ch == '#') //其中getchar()为逐个读入标准库函数
        T = NULL;
    else
    {
        T = new BiTNode;//产生新的子树
        T->data = ch;
        CreateBiTree(T->lchild);//递归创建左子树
        CreateBiTree(T->rchild);//递归创建右子树
    }
}

void PreOrderTraverse(BiTNode* T)
{
    //前序遍历
    if(T)  //结点不为空时执行
    {
        cout<< T->data;
        PreOrderTraverse(T->lchild);
        PreOrderTraverse(T->rchild);
    }
    else
        cout<<"";
}

void InOrderTraverse(BiTNode* T)
{
    //中序遍历
    if(T)  //结点不为空时执行
    {
        InOrderTraverse(T->lchild);
        cout<< T->data;
        InOrderTraverse(T->rchild);
    }
    else
        cout<<"";
}

void PostOrderTraverse(BiTNode* T)
{
    //后序遍历
    if(T)  //结点不为空时执行
    {
        PostOrderTraverse(T->lchild);
        PostOrderTraverse(T->rchild);
        cout<< T->data;
    }
    else
        cout<<"";
}
int main()
{
    //const char* ch = "AB#D##C##";
    BiTNode *T;

    cout<<"创建树结构,请输入字符,‘#’ 代表空:"<<endl;
    CreateBiTree(T);  //输入 AB#D##C##
    cout<<"创建完毕"<<endl;
    cout<<T->data<<endl;
    cout<<"前序遍历结果:"<<endl;
    PreOrderTraverse(T);//输出 ABDC
    cout<<endl;

    cout<<"中序遍历结果:"<<endl;
    InOrderTraverse(T); //输出 BDAC
    cout<<endl;

    cout<<"后序遍历结果:"<<endl;
    PostOrderTraverse(T);//输出 DBCA
    cout<<endl;

    return 0;
}

上边主要的疑惑是指针的引用,暂时先参考二叉树建立,指针问题. 遇到修改指针的得注意了。
?

数据结构之二叉树

标签:出现   返回   存储   后序遍历   空指针   下标   树的遍历   分享   mat   

原文地址:https://www.cnblogs.com/zhoukui/p/8603025.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!