BZOJ3994：[SDOI2015]约数个数和——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P3327#sub

参考：https://blog.csdn.net/zmoiynlp/article/details/45176129

（他的公式好像最后一点有些问题）

请先锻炼好抗打击能力再做这道题，可以看我的模板：数论函数 & 莫比乌斯反演

我们有\(d(ij)=\sum_{k|i}\sum_{l|j}[gcd(k,l)==1]\)

（感性证明很简单，于是就不证了）

（这个是本题第一难的地方，信息数学竞赛）

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)\)

\(=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{k|i}\sum_{l|j}[gcd(k,l)=1]\)

\(=\sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^m\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{l}\rfloor[gcd(k,l)=1]\)（跳了步，希望大家看得懂）

\(=\)套路（实则是跳步）

\(=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{k=1}^{n}\sum_{l=1}^{m}\lfloor\frac{n}{k}\rfloor\lfloor\frac{m}{l}\rfloor[k|d][l|d]\)

\(=\sum_{d=1}^{min(n,m)}\mu(d)\sum_{k=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{l=1}^{\lfloor\frac{m}{d}\rfloor}\lfloor\frac{n} {kd}\rfloor\lfloor\frac{m}{ld}\rfloor\)

我们令\(g(n)=\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)

我们的套路有\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[i|j]=g(n)\)

是的你没有看错这玩意就是约数函数的前缀和。

（如果你还没看出来的话，把两个sigma颠倒一下）

（这是本题第二难的地方，信息数学竞赛）

于是预处理约数函数的前缀和。

（用到了算数基本定理的推导和约数函数是积性函数的性质，可见https://blog.csdn.net/ControlBear/article/details/77527115

（emmm……就算你全推出来了，这个不会也白搭，信息数学竞赛）

（我为什么要去作死做信息数学竞赛题啊！）

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e4+5;
inline int read(){int x;scanf("%d",&x);return x;}
ll su[N],miu[N],d[N],c[N];
int he[N];
void init(int n){
    int tot=0;
    miu[1]=d[1]=c[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!he[i]){
            su[++tot]=i;
            miu[i]=-1;
            c[i]=1;d[i]=2;
        }
        for(int j=1;j<=tot;j++){
            if(i*su[j]>n)break;
            he[i*su[j]]=1;
            if(i%su[j]==0){
                miu[i*su[j]]=0;
                d[i*su[j]]=d[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);
                c[i*su[j]]=c[i]+1;
                break;
            }else{
                miu[i*su[j]]=miu[i]*miu[su[j]];
                d[i*su[j]]=d[i]*d[su[j]];
                c[i*su[j]]=1;   
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        miu[i]+=miu[i-1];
        d[i]+=d[i-1];
    }
}
int main(){
    init(5e4);
    int t=read();
    while(t--){
        ll n=read(),m=read();
        ll ans=0;
        for(ll i=1,j;i<=min(n,m);i=j+1){
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
            ans+=(miu[j]-miu[i-1])*d[n/i]*d[m/i];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

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