题目大意
在平面上找 n 个点, 要求这 n 个点离原点的距离分别为 $r_1,r_2, \cdots r_rn$. 最大化这 n 个点构成的凸包面积, 凸包上的点的顺序任意。
注意点不一定全都要在凸包上。
$n \leq 8,r_i \leq 1000$
题解
正解是拉格朗日乘数法。
然而作为一只蒟蒻，当然是不会这种巧妙的操作的。
那就乱搞吧!
考虑使用模拟退火算法。
初始给每个节点随机一个相对于原点的角度，并计算它们构成的凸包面积。
设定初始温度为$\pi$（角度为弧度制），并进行退火。
每次从所有点中随机选择一个点，对其角度加上或减去温度乘上一个在$(0,1)$范围内随机的实数，计算此时的答案。
若更优，则应用这次修改，否则不作出修改。
随机$10$次左右即可稳定得到最优解~
说这是伪模拟退火的原因是，模拟退火事实上还会根据温度一定概率接受一次错误的修改，而实测这样的效果并不是特别优。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef double db;
typedef pair<db,db> pr;
const int N=19;
const db eps=1e-8;
const db pi=acos(-1);
const db mint=1e-7;
#define x first
#define y second
int n,stk[N],rr[N];
db r[N];
db ang[N],ans=0.0;
pr p[N];
inline bool cmp(pr a,pr b)
{
if(abs(a.x-b.x)<eps)
return a.y<b.y;
return a.x<b.x;
}
pr operator - (pr a,pr b)
{
return pr(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
inline bool cmp2(pr a,pr b)
{
return atan2(a.y-p[1].y,a.x-p[1].x)<atan2(b.y-p[1].y,b.x-p[1].x);
}
inline db randf()
{
return (db)rand()/(db)RAND_MAX;
}
inline db cross(pr a,pr b)
{
return a.x*b.y-a.y*b.x;
}
inline db hull()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
p[i]=pr(cos(ang[i])*r[i],sin(ang[i])*r[i]);
sort(p+1,p+n+1,cmp);
sort(p+2,p+n+1,cmp2);
int top;
stk[top=1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
while(top>=2 && cross(p[i]-p[stk[top-1]],p[stk[top]]-p[stk[top-1]])>eps)
top--;
stk[++top]=i;
}
db ret=0;
for(int i=1;i<top;i++)
ret+=cross(p[stk[i]],p[stk[i+1]]);
ret+=cross(p[stk[top]],p[stk[1]]);
return fabs(ret/2.0);
}
inline void work()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
ang[i]=randf()*pi*2.0;
db t=pi,cans=hull();
while(t>mint)
{
//for(int i=1;i<=1;i++)
{
int choose=rand()%n+1;
db inc=t*(randf()-0.5);
ang[choose]+=inc;
db tans=hull();
if(tans>cans)cans=tans;
else ang[choose]-=inc;
}
t*=0.994;
}
ans=max(ans,cans);
}
inline int spj()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
ang[i]=((db)(i-1)/(db)n)*pi*2.0;
printf("%.6f\n",hull());
return 0;
}
int main()
{
freopen("yja.in","r",stdin);
freopen("yja.out","w",stdout);
srand(time(0));
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&rr[i]);
r[i]=(db)rr[i];
}
for(int i=2;i<=n;i++)
if(r[i]!=r[i-1])
goto hell;
return spj();
hell:;
int T=200;
while(T--)
work();
printf("%.8f\n",ans);
return 0;
}