杨辉三角:
前提:每行端点与结尾的数为1.
每个数等于它上方两数之和。
每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。
第n行的数字有n项。
第n行数字和为2n-1。
第n行的m个数可表示为 C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ,为组合数性质之一。
每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和,这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
(a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
将第2n+1行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
将各行数字相排列,可得11的n-1(n为行数)次方:1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质,此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位,然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...,以此类推,把空位用“0”补齐,然后把所有的数加起来,得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例,第十一行的数为:1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,结果为 25937424601=1110。
public
class
TriangleArray
{
public
static
void
main(String[] args)
{
final
int
NMAX =
10
;
// allocate triangular array
int
[][] odds =
new
int
[NMAX +
1
][];
for
(
int
n =
0
; n <= NMAX; n++)
odds[n] =
new
int
[n +
1
];
// fill triangular array
for
(
int
n =
0
; n < odds.length; n++)
for
(
int
k =
0
; k < odds[n].length; k++)
{
/*
* compute binomial coefficient n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)/(1*2*3*...*k)
*/
int
lotteryOdds =
1
;
for
(
int
i =
1
; i <= k; i++)
lotteryOdds = lotteryOdds * (n - i +
1
) / i;
odds[n][k] = lotteryOdds;
}
// print triangular array
for
(
int
[] row : odds)
{
for
(
int
odd : row)
System.out.printf(
"%4d"
, odd);
System.out.println();
}
}
}