整除分块

前言

• 最近在学习莫比乌斯反演，发现了一个基本上所有的有关莫比乌斯反演的题目，都涉及到一个小的知识点： 整除分块。
• 所以，在学习莫比乌斯反演之前学会整除分块是很有必要的。
• 那么，我就来介绍一下整除分块这一内容

整除分块

• 可以用到整除分块的形式，大致是这样的：
  \[\sum_{i=1}^{n}\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\]
• 这个式子，\(O(n)\)计算是非常显然的。但，有的时候因为多组数据的要求，可能\(O(n)\)并不是正确的时间复杂度。那么这个时候，我们就有一种\(O(\sqrt{n})\)的做法。这就是：整除分块！

• 对于每一个\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)我们可以通过打表(或理性的证明)可以发现：有许多\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的值是一样的，而且它们呈一个块状分布；再通过打表之类的各种方法,我们惊喜的发现对于每一个值相同的块，它的最后一个数就是\(n/(n/i)\)。得出这个结论后，我们就可以做的\(O(\sqrt{n})\)处理了。
  附一个整除分块的代码吧：

  for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)
  {
  r=n/(n/l);
  ans+=(r-l+1)*(n/l);
  }

与其他函数的联系

• 有时候，可能推出来的式子不一定就是一个很裸的整除分块，可能会与某些积性函数相乘，如：\(\mu,\varphi\)...... 这时候，我们就需要对这些函数统计一个前缀和。因为，每当我们使用整除分块跳过一个区间的时候，其所对应的函数值也跳过了一个区间。所以此时，就需要乘上那一个区间的函数值。
• (当然，如果当出题人想要考考你的数论能力的话，这时就不是统计前缀和这么简单了。可能\(O(n)\)线筛都会TLE，那么我们就需要杜教筛了)
• (PS:关于杜教筛的内容，我没过多久就会写，那时候再填坑吧！)