[xsy1262]循环排插

成环还行23333

转化一下，设第$i$个排插连到第$a_i$个排插上，因为每个排插只被一个排插连接，所以$a_i$互不相同，也就是说这是一个$1\cdots n$的全排列，我们要统计的是各种不同成环方法的方案数

设$f_{i,j}$表示$i$个排插成了$j$个环，那么$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+(i-1)f_{i-1,j}$（新来的排插独自成环或从前$i-1$个选一个加入成环），那么答案就是$\sum\limits_{i=1}^nf_{n,i}i^k$，这个DP是$O(n^2)$的，只能拿到30分

设$g_{i,j}=\sum\limits_{k=1}^nf_{i,k}k^j$，我们可以批判推导一番

$\begin{align*}g_{i,j}&=\sum\limits_{k=1}^nf_{i,k}k^j\\&=\sum\limits_{k=1}^n\left[f_{i-1,k-1}+(i-1)f_{i-1,k}\right]k^j\\&=\left(\sum\limits_{k=0}^{n-1}f_{i-1,k}(k+1)^j\right)+(i-1)g_{i-1,j}\\&=(i-1)g_{i-1,j}+\sum\limits_{k=0}^{n-1}f_{i-1,k}\sum\limits_{l=0}^j\binom jlk^l\\&=(i-1)g_{i-1,j}+\sum\limits_{l=0}^j\binom jl\sum\limits_{k=0}^{n-1}f_{i-1,k}k^l\\&=(i-1)g_{i-1,j}+\sum\limits_{l=0}^j\binom jlg_{i-1,l}\end{align*}$

于是我们得到了一个$O(k^2n)$的算法，可以获得满分

p.s.这题中的$f$其实就是第一类斯特林数，直接分治FFT（任意模数==）也可以

#include<stdio.h>
const int mod=1000000007;
typedef long long ll;
int mul(int a,int b){return a*(ll)b%mod;}
int ad(int a,int b){return(a+b)%mod;}
int g[100010][40],fac[40],rfac[40];
int pow(int a,int b){
	int s=1;
	while(b){
		if(b&1)s=mul(s,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	}
	return s;
}
int C(int n,int k){return mul(fac[n],mul(rfac[n-k],rfac[k]));}
int main(){
	int n,k,i,j,l;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	fac[0]=1;
	for(i=1;i<=k;i++)fac[i]=mul(fac[i-1],i);
	rfac[k]=pow(fac[k],mod-2);
	for(i=k;i>0;i--)rfac[i-1]=mul(rfac[i],i);
	g[0][0]=1;
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=0;j<=k;j++){
			g[i][j]=mul(i-1,g[i-1][j]);
			for(l=0;l<=j;l++)g[i][j]=ad(g[i][j],mul(C(j,l),g[i-1][l]));
		}
	}
	printf("%d",g[n][k]);
}