Description
阿申准备报名参加GT考试，准考证号为N位数X1X2....Xn(0<=Xi<=9),他不希望准考证号上出现不吉利的数字。
他的不吉利数学A1A2...Am(0<=Ai<=9)有M位，不出现是指X1X2...Xn中没有恰好一段等于A1A2...Am. A1和X1可以为0
Input
第一行输入N,M,K.接下来一行输入M位的数。 N<=10^9,M<=20,K<=1000
Output
阿申想知道不出现不吉利数字的号码有多少种，输出模K取余的结果.
Sample Input
4 3 100
111
Sample Output
81
Solution
这题还是很无奈的
按照数位dp的思想依次考虑每一位上的数字，考虑设计dp，\(f[i][j]\) 代表考虑完第 \(i\) 位之后，后 \(j\) 位与不吉利数字的前 \(j\) 位相同的方案数
那么最后答案为 \(ans=\sum_{i=0}^{m-1}f[n][i]\)
现在新加进来一个数，对之前的相同的 \(j\) 位造成的影响会有三种情况：
- 延长原有的 \(j\) 位，变成 \(j+1\) 位
- 直接把原有的 \(j\) 位打回０位
- 把原来的 \(j\) 位变短到一个位置，而这个位置，你会发现正好是KMP中求的fail/next数组
那么，\(f[i][j]=f[i-1][j-1]+\sum_{k=1}^mf[i-1][k]*[next[k]=j-1]\)
再进一步，\(f[i][j]=\sum_{k=0}^{m-1}f[i-1][k]*a[k][j]\)，其中 \(a[k][j]\) 代表从匹配好 \(k\) 位变成匹配 \(j\) 位的方案数
对于 \(a\) 数组，先KMP求出fail/next数组，然后直接枚举每个位置上的每个数，相当于暴力求得
对于 \(f\) 数组，看上面的式子难道不眼熟吗，这东西显然可以矩阵快速幂优化
然后答案就出来了
注意一下每个人的KMP写法都不一样，求的fail/next数组也会有所不同，但只要能达到效果就可以了，不同的写法最后算 \(a\) 的时候，细节略有不同
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXM=400+5;
int n,m,Mod,ans,nexts[MAXM];
char s[MAXM];
struct Matrix{
int a[MAXM][MAXM];
inline void init()
{
memset(a,0,sizeof(a));
}
inline Matrix operator * (const Matrix &A) const {
Matrix B;
for(register int i=0;i<m;++i)
for(register int j=0;j<m;++j)
{
B.a[i][j]=0;
for(register int k=0;k<m;++k)(B.a[i][j]+=(a[i][k]*A.a[k][j]))%=Mod;
}
return B;
};
};
Matrix A,B;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
T data=0,w=1;
char ch=0;
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='\0')
{
if(x<0)putchar('-'),x=-x;
if(x>9)write(x/10);
putchar(x%10+'0');
if(c!='\0')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void KMP()
{
nexts[0]=-1;
for(register int i=1;i<m;++i)
{
int j=nexts[i-1];
while(s[i]!=s[j+1]&&j>=0)j=nexts[j];
if(s[i]==s[j+1])nexts[i]=j+1;
else nexts[i]=-1;
}
}
inline void init()
{
KMP();
for(register int i=0;i<m;++i)
for(register int j='0';j<='9';++j)
{
int k=i;
while(k&&s[k]!=j)k=nexts[k-1]+1;
if(s[k]==j)k++;
if(k!=m)B.a[i][k]++;
}
}
inline Matrix Fast_Matrix(int k)
{
Matrix res;
res.init();
res=B;
--k;
while(k)
{
if(k&1)res=res*B;
B=B*B;
k>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
read(n);read(m);read(Mod);
A.init();B.init();
scanf("%s",s);
init();
A.a[0][0]=1;
B=Fast_Matrix(n);
A=A*B;
for(register int i=0;i<m;++i)(ans+=A.a[0][i])%=Mod;
write(ans,'\n');
return 0;
}