题目背景
大家都知道，斐波那契数列是满足如下性质的一个数列：
• f(1) = 1
• f(2) = 1
• f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 2 且 n 为整数)
题目描述
请你求出 f(n) mod 1000000007 的值。
输入输出格式
输入格式：·第 1 行：一个整数 n
输出格式：第 1 行： f(n) mod 1000000007 的值
输入输出样例
输入样例#1：
5
输出样例#1：
5
输入样例#2：
10
输出样例#2：
55
说明
对于 60% 的数据： n ≤ 92
对于 100% 的数据： n在long long(INT64)范围内。
Solution：
本题算是矩阵加速的模板题，而矩阵加速我好像写过博客，这里稍微提一下我的理解。首先求出线性通项递推式，然后构造矩阵，套用快速幂的思想，便能快速求出第n项了。复杂度是O(r2logn)，其中r为矩阵的边长，显然r越小越好，几乎可以当作一个常数。
好了说说斐波拉契的递推式：F[n]=F[n-1]+F[n-2]，F[1]=F[2]=1。
于是可以构造初始矩阵 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及中间矩阵 \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
最后就是输出特判一下就ok了。
代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define il inline 3 #define ll long long 4 #define debug printf("%d %s\n",__LINE__,__FUNCTION__) 5 using namespace std; 6 const int mod=1e9+7; 7 ll n; 8 struct mat{ll a[2][2],r,c;}; 9 il mat mul(mat x,mat y) 10 { 11 mat p; 12 memset(&p,0,sizeof(p)); 13 for(int i=0;i<x.r;i++) 14 for(int j=0;j<y.c;j++) 15 for(int k=0;k<x.c;k++) 16 p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod; 17 p.r=x.r,p.c=y.c; 18 return p; 19 } 20 il void fast(ll k) 21 { 22 mat p,ans; 23 memset(&p,0,sizeof(p)); 24 memset(&ans,0,sizeof(ans)); 25 p.r=p.c=2; 26 p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1; 27 ans.r=1,ans.c=2; 28 ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1; 29 int cnt=0; 30 while(k){ 31 if(k&1){ans=mul(ans,p);} 32 p=mul(p,p); 33 k>>=1; 34 } 35 cout<<ans.a[0][0]; 36 } 37 int main() 38 { 39 ios::sync_with_stdio(0); 40 cin>>n; 41 if(n<=2)cout<<1; 42 else fast(n-2); 43 return 0; 44 }
