让我先把微笑送给出题人
这个题最基础的一个想法:先找出一个度数和为总度数和的1/2的点集，然后判断这个点集和这个点集的补集能否形成二分图。但是就算我们把判断的复杂度看成O(1)，这个算法的复杂度也是 O(T * 2^n)，根本过不了。
下面我就来列举一下我这两个月做的优化:
1.把度数序列排序。
这个看起来没啥用，但是后面好多地方都要用到这个。
2.meet in the middle。
我们可以先搜出前一半的所有点集，把它们存在以它们的度数和为下标的链表里；
然后我们再搜后一半，再从 以 总度数/2 - 搜出的点集度数和 为下标的链表里找点集 ，然后这两个点集加起来就是二分图的左边.
虽然不知道这个效果咋样，但肯定是比直接搜点集要优很多的。
3.网络流判断。
这个其实不能算什么优化，因为判断能不能形成二分图的时候，我实在想不到什么其他办法23333。
也算是开了一下脑洞把，，，，搜索+网络流也是玄学。。。
4.询问判重构。
直接把排完序的度数序列表示成23进制数，这样就可以直接hash(可以用map记，因为这里的log 是并行的不会记到复杂度里)判重构了，如果一组询问以前出现过那么直接输出以前计算出来的答案。
5.选出的点集判重构。
这个可不能用map记了，这里如果多个log是要记在复杂度里的，，，很可能就被卡了2333.
但稍微想一想就能发现，这个是可以用二进制表示的。我们只需要让每种度数对应一个二进制位，并且不产生冲突即可。
比如说 1,2,2,3,5这个序列吧，我们只需要把它们的对应二进制位设成 2^0,2^1,2^1,2^3,2^4，就可以了。
6.二分图左右点集的最大度数和点数关系。
比如说二分图左边的最大度数是6 ，而右边只有5个点的话，是肯定不能形成合法二分图的，所以我们就提前判断而不要跑一遍网络流。
而且感觉上述6种优化缺一不可，，，因为中间14次UNACCEPT大部分就是因为少了某种优化。。。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define pb push_back
using namespace std;
vector<int> g[35];
map<int,int> mmp;
struct lines{
int to,flow,cap;
}l[2333];
int S,T,t,d[35],q[35],tp,tl,cur[35];
bool v[35],used[1100005];
inline void add(int from,int to,int cap){
l[++t]=(lines){to,0,cap},g[from].pb(t);
l[++t]=(lines){from,0,0},g[to].pb(t);
}
inline bool BFS(){
memset(v,0,sizeof(v));
q[tp=tl=1]=S,v[S]=1,d[S]=0;
int x; lines e;
while(tp<=tl){
x=q[tp++];
for(int i=g[x].size()-1;i>=0;i--){
e=l[g[x][i]];
if(e.flow<e.cap&&!v[e.to]){
v[e.to]=1,d[e.to]=d[x]+1;
q[++tl]=e.to;
}
}
}
return v[T];
}
int dfs(int x,int A){
if(x==T||!A) return A;
int flow=0,f,sz=g[x].size();
for(int &i=cur[x];i<sz;i++){
lines &e=l[g[x][i]];
if(d[e.to]==d[x]+1&&(f=dfs(e.to,min(A,e.cap-e.flow)))){
A-=f,flow+=f;
e.flow+=f,l[g[x][i]^1].flow-=f;
if(!A) break;
}
}
return flow;
}
inline int max_flow(){
int an=0;
while(BFS()){
memset(cur,0,sizeof(cur));
an+=dfs(S,1<<30);
}
return an;
}
int G[2333],sum[2333],num,zt[1100005];
int Q,n,de[25],cnt,ci[33],HD,val[25];
int hd[445],ne[2333],HF,now,win;
inline bool can(int s){
int tt=0;
for(int i=0;i<n;i++) if(ci[i]&s) tt+=ci[val[i]];
if(used[tt]) return 0;
used[tt]=1,zt[++num]=tt;
int OT=0,OM=0,ZT=0,ZM=0;
for(int i=0;i<n;i++)
if(ci[i]&s) OT++,OM=max(OM,de[i]);
else ZT++,ZM=max(ZM,de[i]);
if(OT<ZM||ZT<OM) return 0;
S=0,T=n+1,t=-1;
for(int i=0;i<=T;i++) g[i].clear();
for(int i=0;i<n;i++)
if(ci[i]&s) add(S,i+1,de[i]);
else add(i+1,T,de[i]);
for(int i=0;i<n;i++) if(ci[i]&s)
for(int j=0;j<n;j++) if(!(ci[j]&s)) add(i+1,j+1,1);
return max_flow()==HD;
}
inline void front_search(){
for(int i=0;i<HF;i++) sum[ci[i]]=de[i];
for(int i=0,N,L;i<ci[HF];i++){
if(i){
N=i&-i,L=N^i;
sum[i]=sum[N]+sum[L];
}
G[++cnt]=i,ne[cnt]=hd[sum[i]],hd[sum[i]]=cnt;
}
}
inline void second_search(){
for(int i=0;i<n-HF;i++) sum[ci[i]]=de[HF+i];
for(int i=0,N,L;i<ci[n-HF];i++){
if(i){
N=i&-i,L=N^i;
sum[i]=sum[N]+sum[L];
}
if(HD-sum[i]>=0){
N=HD-sum[i];
int x;
for(int j=hd[N];j;j=ne[j]){
x=G[j];
if(can(x+i*ci[HF])){
win=1;
return;
}
}
}
}
}
inline void solve(int CA){
for(int i=1;i<=num;i++) used[zt[i]]=0;
num=cnt=now=win=0,memset(hd,0,sizeof(hd));
scanf("%d",&n),HF=n>>1,HD=0;
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%d",de+i),HD+=de[i];
sort(de,de+n),printf("Case %d: ",CA);
val[0]=0;
for(int i=1;i<n;i++)
if(de[i]==de[i-1]) val[i]=val[i-1];
else val[i]=i;
for(int i=0;i<n;i++) now=now*23+de[i];
if(mmp.count(now)){
if(mmp[now]==1) puts("YES");
else puts("NO");
return;
}
if(HD&1){
puts("NO");
return;
}
HD>>=1;
front_search();
second_search();
mmp[now]=win;
if(win) puts("YES");
else puts("NO");
}
int main(){
// freopen("warmap.in","r",stdin);
// freopen("warmap.out","w",stdout);
ci[0]=1;
for(int i=1;i<=20;i++) ci[i]=ci[i-1]<<1;
scanf("%d",&Q);
for(int i=1;i<=Q;i++) solve(i);
return 0;
}
