知识汇总

设 $a, b\in\mathbb R$，则有
\[
|a+b| + |a-b| = 2\max(|a|, |b|)
\]

证明

1. $a,b$ 同号（$0$ 可以认为是正的，也可以认为是负的，下同），则
   \begin{align*}
   |a+b| &= |a| + |b| = \max(|a| + |b|) + \min(|a| + |b|) \\
   |a - b| &= \max(|a|, |b|) - \min(|a|, |b|) \\
   |a+b| + |a-b| &= 2\max(|a|, |b|)
   \end{align*}
2. $a,b$ 异号，则
   \[
   |a+b| = \max(|a|, |b|) - \min(|a|, |b|) \\
   |a - b| = |a| + |b| = \max(|a|, |b|) + \min(|a|, |b|) \\
   |a+b| + |a-b| = 2\max(|a|, |b|)
   \]

这个结论的用法。一般是反过来用，即用
\begin{euqation*}
\max(|a|,|b|) = \frac12 (|a+b| + |a - b|)
\end{equation*}
根据需要，将形如 $\max(|a|, |b|)$ 的表达式中的 $\max$ 算符去掉，方便进一步的处理。

由于 $|a| + |b| = \max(|a|, |b|) + \min(|a|, |b|)$，我们还有
\begin{align*}
\min(|a|,|b|) &= |a| + |b| - \max(|a|, |b|) \\
&= |a| + |b| - \frac12 (|a+b| + |a - b|)
\end{align*}