P1306 斐波那契公约数

题目描述

对于Fibonacci数列：1,1,2,3,5,8,13......大家应该很熟悉吧~~~但是现在有一个很“简单”问题：第n项和第m项的最大公约数是多少？

输入输出格式

两个正整数n和m。（n,m<=10^9）

注意：数据很大

Fn和Fm的最大公约数。

由于看了大数字就头晕，所以只要输出最后的8位数字就可以了。

输入输出样例

4 7

1

说明

用递归&递推会超时

用通项公式也会超时

Solution：

　　本题其实并不难，开始被题意吓到了，结果后面写出了式子都没看出来（手动滑稽～）。

　　方法：结论+矩阵加速

　　结论：$$gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　证明：

　　我们设$n<m$，$F[n]=a$和$F[n+1]=b$。

　　则$F[n+2]=a+b,F[n+3]=a+2b,…F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\because \quad$ $F[n]=a,F[n+1]=b,F[m]=F[m-n-1]a+F[m-n]b$

　　$\therefore \quad$ $F[m]=F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1]$

　　又$\because \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n-1]*F[n]+F[m-n]*F[n+1])$

　　而$F[n]|F[m-n-1]*F[n]$

　　$\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　引理：$gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　　证：由欧几里德定理知

　　　　　$gcd(F[n],F[n+1])=gcd(F[n],F[n+1]-F[n])$

                       $=gcd(F[n],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[n-2],F[n-1])$

　　　　　　　　　　　　$……$

　　　　　　　　　　　　$=gcd(F[1],F[2])=1$

　　　　  $\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[n+1])=1$

　　由引理知：

　　$F[n],F[n+1]$互质

　　而 $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n]*F[n+1])$

　　$\therefore \quad$ $gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m-n])$

　　即$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n],F[m\;mod\;n])$

　　继续递归，将$m1=m\;mod\;n$，则$gcd(F[n],F[m])=gcd(F[n\;mod\;m1],F[m1])$

　　$…$

　　不难发现，整个递归过程其实就是在求解$gcd(n,m)$

　　最后递归到出现$F[0]$时，此时的$F[n]$就是所求gcd。　

　　$$\therefore \quad gcd(F[n],F[m])=F[gcd(n,m)]$$

　　于是本题就转为求$gcd(n,m)$，然后求斐波拉契数列的$F[gcd(n,m)]$项后8位（即对100000000取模）。

　　至于矩阵的构造：

　　初始矩阵 \begin{bmatrix} F[2]=1 & F[1]=1\end{bmatrix} 以及中间矩阵 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}

代码：

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 #define mem(p) memset(&p,0,sizeof(p))
 6 using namespace std;
 7 const ll mod=1e8;
 8 ll n,m;
 9 struct mat{ll a[3][3],r,c;};
10 il mat mul(mat x,mat y)
11 {
12     mat p;
13     mem(p);
14     for(int i=0;i<x.r;i++)
15         for(int j=0;j<y.c;j++)
16             for(int k=0;k<x.c;k++)
17     p.a[i][j]=(p.a[i][j]+x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
18     p.r=x.r,p.c=y.c;
19     return p;
20 }
21 il void fast(ll k)
22 {
23     mat p,ans;
24     mem(p),mem(ans);
25     p.r=p.c=2;
26     p.a[0][0]=p.a[0][1]=p.a[1][0]=1;
27     ans.r=1,ans.c=2;
28     ans.a[0][0]=ans.a[0][1]=1;
29     while(k)
30     {
31         if(k&1)ans=mul(ans,p);
32         p=mul(p,p);
33         k>>=1;
34     }
35     cout<<ans.a[0][0];
36 }
37 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
38 int main()
39 {
40     ios::sync_with_stdio(0);
41     cin>>n>>m;
42     n=gcd(n,m);
43     if(n<=2)cout<<1;
44     else fast(n-2);
45     return 0;
46 }