4817: [Sdoi2017]树点涂色
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Bob有一棵n个点的有根树，其中1号点是根节点。Bob在每个点上涂了颜色，并且每个点上的颜色不同。定义一条路径的权值是：这条路径上的点（包括起点和终点）共有多少种不同的颜色。Bob可能会进行这几种操作：1 x:把点x到根节点的路径上所有的点染上一种没有用过的新颜色。2 x y:求x到y的路径的权值。3 x y:在以x为根的子树中选择一个点，使得这个点到根节点的路径权值最大，求最大权值。Bob一共会进行m次操作Input
第一行两个数n,m。接下来n-1行，每行两个数a,b，表示a与b之间有一条边。接下来m行，表示操作，格式见题目描述1<=n,m<=100000Output
每当出现2,3操作，输出一行。如果是2操作，输出一个数表示路径的权值如果是3操作，输出一个数表示权值的最大值Sample Input
5 6
1 2
2 3
3 4
3 5
2 4 5
3 3
1 4
2 4 5
1 5
2 4 5Sample Output
3
4
2
2HINT
Source
[Submit][Status][Discuss]
首先发现第一个操作很像LCT里的Access()，这个方向已经对了。
我们设f[x]表示x与父节点的值是否一样，且f[1]=1，那么对于每个点的答案就是这个点到根上的所有f[x]之和，设为g[x]。
2操作可以转化成g[x]+g[y]-2*g[lca]+1（这里的+1要考虑清楚），3操作可以转化成求x子树中的g[]的最大值，考虑如何维护g[]。
可以发现从x修改到根时，只有每次发生链的切换的时候f[]值才会改变，而每次链的切换正是LCT中Access()所执行的操作，所以我们每次Access()切换链的时候，将其子树的所有g[]加1，对新接进来的节点的子树g[]减1，这个涉及子树的操作，直接DFS+线段树解决即可。
写代码的时候突然发现自己不会区间修改区间查询的线段树了。。吃枣药丸。。
说一下标记永久化的事情，一般的标记是存放自顶向下的懒惰信息，标记自顶向下逐层下放，标记永久化则是可以看作存的是仅在这一层的懒惰信息，标记并不下放而是自底向上地合并。
一般来说标记永久化可能会短一点，速度也会快一些，但并不是非常直观，所以在不卡常数的情况下还是写普通标记吧。
先贴一份没有标记永久化的片段
void push(int x,int L,int R){ if (!tag[x]) return; tag[ls]+=tag[x]; mx[ls]+=tag[x]; tag[rs]+=tag[x]; mx[rs]+=tag[x]; tag[x]=0; } void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){ if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; } int mid=(L+R)>>1; push(x,L,R); if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k); else if (l>mid) ins(rs,mid+1,R,l,r,k); else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+1,R,mid+1,r,k); mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]); } int ask(int x,int L,int R,int l,int r){ if (L==l && r==R) return mx[x]; int mid=(L+R)>>1; push(x,L,R); if (r<=mid) return ask(ls,L,mid,l,r); else if (l>mid) return ask(rs,mid+1,R,l,r); else return max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+1,R,mid+1,r)); }
下面是标记永久化的程序，比原来快1/5。
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 #define ls (x<<1) 4 #define rs ((x<<1)|1) 5 #define rep(i,l,r) for (int i=l; i<=r; i++) 6 #define For(i,x) for (int i=h[x],k; i; i=nxt[i]) 7 using namespace std; 8 9 const int N=400100; 10 int n,m,x,y,op,cnt,nd,tim,val[N],top[N],son[N],to[N],h[N],nxt[N]; 11 int sz[N],d[N],L[N],R[N],ch[N][2],mx[N],tag[N],f[N],fa[N]; 12 void add(int u,int v){ to[++cnt]=v; nxt[cnt]=h[u]; h[u]=cnt; } 13 bool isroot(int x){ return (!f[x]) || (ch[f[x]][0]!=x && ch[f[x]][1]!=x); } 14 15 void dfs(int x,int pre){ 16 sz[x]=1; d[x]=d[pre]+1; 17 For(i,x) if ((k=to[i])!=pre){ 18 f[k]=fa[k]=x; dfs(k,x); sz[x]+=sz[k]; 19 if (sz[son[x]]<sz[k]) son[x]=k; 20 } 21 } 22 23 void dfs2(int x,int tp){ 24 L[x]=++tim; top[x]=tp; val[tim]=d[x]; 25 if (son[x]) dfs2(son[x],tp); 26 For(i,x) if ((k=to[i])!=fa[x] && k!=son[x]) dfs2(k,k); 27 R[x]=tim; 28 } 29 30 void rot(int x){ 31 int y=f[x],z=f[y],w=ch[y][1]==x; 32 if (!isroot(y)) ch[z][ch[z][1]==y]=x; 33 f[x]=z; f[y]=x; f[ch[x][w^1]]=y; 34 ch[y][w]=ch[x][w^1]; ch[x][w^1]=y; 35 } 36 37 void splay(int x){ 38 while (!isroot(x)){ 39 int y=f[x],z=f[y]; 40 if (!isroot(y)){ 41 if ((ch[z][1]==y)^(ch[y][1]==x)) rot(x); else rot(y); 42 } 43 rot(x); 44 } 45 } 46 47 void ins(int x,int L,int R,int l,int r,int k){ 48 if (L==l && r==R){ tag[x]+=k; mx[x]+=k; return; } 49 int mid=(L+R)>>1; 50 if (r<=mid) ins(ls,L,mid,l,r,k); 51 else if (l>mid) ins(rs,mid+1,R,l,r,k); 52 else ins(ls,L,mid,l,mid,k),ins(rs,mid+1,R,mid+1,r,k); 53 mx[x]=max(mx[ls],mx[rs])+tag[x]; 54 } 55 56 int ask(int x,int L,int R,int l,int r){ 57 if (L==l && r==R) return mx[x]; 58 int mid=(L+R)>>1; 59 if (r<=mid) return tag[x]+ask(ls,L,mid,l,r); 60 else if (l>mid) return tag[x]+ask(rs,mid+1,R,l,r); 61 else return tag[x]+max(ask(ls,L,mid,l,mid),ask(rs,mid+1,R,mid+1,r)); 62 } 63 64 int find(int x){ while (ch[x][0]) x=ch[x][0]; return x; } 65 66 void access(int x){ 67 for (int y=0; x; y=x,x=f[x]){ 68 splay(x); int t=find(ch[x][1]); 69 if (t) ins(1,1,n,L[t],R[t],1); 70 t=find(y); ch[x][1]=y; 71 if (t) ins(1,1,n,L[t],R[t],-1); 72 } 73 } 74 75 void build(int x,int L,int R){ 76 if (L==R) { mx[x]=val[L]; return; } 77 int mid=(L+R)>>1; 78 build(ls,L,mid); build(rs,mid+1,R); 79 mx[x]=max(mx[ls],mx[rs]); 80 } 81 82 int get(int u,int v){ 83 for (; top[u]!=top[v]; u=fa[top[u]]) 84 if (d[top[u]]<d[top[v]]) swap(u,v); 85 return (d[u]<d[v])?u:v; 86 } 87 88 int main(){ 89 freopen("paint.in","r",stdin); 90 freopen("paint.out","w",stdout); 91 scanf("%d%d",&n,&m); 92 rep(i,2,n) scanf("%d%d",&x,&y),add(x,y),add(y,x); 93 dfs(1,0); dfs2(1,1); build(1,1,n); 94 while (m--){ 95 scanf("%d",&op); 96 if (op==1) scanf("%d",&x),access(x); 97 else if (op==2){ 98 scanf("%d%d",&x,&y); int lca=get(x,y); 99 printf("%d\n",ask(1,1,n,L[x],L[x])+ask(1,1,n,L[y],L[y])-2*ask(1,1,n,L[lca],L[lca])+1); 100 }else scanf("%d",&x),printf("%d\n",ask(1,1,n,L[x],R[x])); 101 } 102 return 0; 103 }
