有 $n$ 个箱子，每个箱子里有且仅有一把钥匙，每个箱子有且仅有一把钥匙可以将其打开。现在随机打开 $m$ 个箱子，求能够将所有箱子打开的概率。
题解
组合数学+概率dp
题目约定了每个点的入度和出度均为1，因此最终的图一定是若干个环。每个环都至少选择一个点即可满足要求。
预处理出每个环的点数 $c[i]$ 以及其后缀和 $sum[i]$ 。
设 $f[i][j]$ 表示前 $i$ 个环中选出 $j$ 个点，满足最终条件的概率。初始化 $f[0][0]=1$ 。
枚举 $i$ 和前 $i-1$ 个环的点数 $j$ 、第 $i$ 个环的点数 $k$ ，那么：$i\sim n$ 的总方案数为 $C_{sum[i]}^{m-j}$ ，满足条件的方案数为 $c[i]$ 中选出 $k$ 个的方案数乘以剩下部分选出 $m-j-k$ 个的方案数 $C_{c[i]}^k·C_{sum[i]-c[i]}^{m-j-k}$ 。
整理一下即可得到dp方程 $f[i][j+k]\leftarrow f[i-1][j]·\frac{C_{c[i]}^k·C_{sum[i]-c[i]}^{m-j-k}}{C_{sum[i]}^{m-j}}$ 。
最后的答案就是 $f[n][m]$ 。
其中组合数直接使用double存据说能过，然而我比较怂，因此存的是阶乘的 $\ln$ ，求的时候再 $\text{exp}$ 回去。
时间复杂度 $O(n^3)$ 。
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 310
using namespace std;
int a[N] , c[N] , vis[N] , sum[N];
double fac[N] , f[N][N];
int main()
{
int T;
scanf("%d" , &T);
while(T -- )
{
memset(vis , 0 , sizeof(vis));
memset(f , 0 , sizeof(f));
f[0][0] = 1;
int n , m = 0 , p , i , j , k;
scanf("%d%d" , &n , &p);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]) , fac[i] = fac[i - 1] + log(i);
for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
{
if(!vis[i])
{
c[++m] = 0;
for(j = i ; !vis[j] ; j = a[j])
vis[j] = 1 , c[m] ++ ;
}
}
sum[m + 1] = 0;
for(i = m ; i ; i -- ) sum[i] = sum[i + 1] + c[i];
for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
for(j = max(i - 1 , p - sum[i]) ; j < p && j <= n - sum[i] ; j ++ )
for(k = 1 ; k <= c[i] && j + k <= p ; k ++ )
f[i][j + k] += f[i - 1][j] * exp(fac[c[i]] + fac[sum[i] - c[i]] + fac[p - j] + fac[sum[i] - p + j] - fac[k] - fac[c[i] - k] - fac[p - j - k] - fac[sum[i] - c[i] - p + j + k] - fac[sum[i]]);
printf("%.9lf\n" , f[m][p]);
}
return 0;
}
