1. Notations
循环序列模型的输入和输出都是时间序列。$x^{(i)<t>}$表示第$i$个输入样本的第$t$个元素，$T_x^{(i)}$表示输入的第$i$个样本的元素个数；$y^{(i)<t>}$表示第$i$个样本的输出的第$t$个元素，$T_y^{(i)}$表示第$i$个样本的输出的元素个数。
在NLP领域，为了描述一句话，会有一个词典（vocabulary），里面保存了所有的英文单词（一般包含3万到5万单词），每个单词依次有一个编号。这样每个单词都可以用一个向量表示，每个向量的长度是词典的长度，向量中只有对应单词的位置是1，其他位置都是0。这种描述方式叫“one-hot representation”，因为只有一个元素是激活为非0的。为了处理突然遇到词典中不存在的单词的情况，会创造一个新的标记（或者说伪造的单词）叫“Unknown Word”（可以写成“<UNK>”）。这样就能完整地描述序列。
2. RNN
把输入序列直接扔给一个常规的神经网络有两个缺陷：1）输入和输出会有不同的长度；2）序列不同位置的特征没有能共用，没有做到CNN那样用卷积的方式共用参数。
下图是实际构造的RNN网络（这个网络只用了之前的信息，能够同时用之前和之后信息的网络叫BRNN（Bidirectional RNN））：
其中，$a^{<t>}=g_1(W_{aa}a^{<t-1>}+W_{ax}x^{<t>}+b_a)$，$g_1$一般是tanh/ReLU函数，tanh非常常见。$a^{<0>}$一般被初始化为全0，也有学者随机初始化，但是全0的初始化方式更常见。$\hat{y}^{<t>}=g_2(W_{ya}a^{<t>}+b_y)$，如果是二分类问题，$g_2$会是sigmoid，如果是多分类，$g_1$会是softmax函数。在Andrew Ng的课程里，他把$g_1$和$g_2$都写成了$g$，但我们要知道这两个是不同的激活函数。简单地说，每一轮计算先根据输入x<t>和上一轮的激活值a<t-1>，计算本轮的激活值a<t>，然后再根据本轮的激活值a<t>计算本轮的输出$\hat{y}^{<t>}$。
为了更简洁的描述这两个式子，把$W_{aa}$和$W_{ax}$堆叠了起来成为$W_{a}$，$W_{ya}$也简化为$W_{y}$：
3. RNN的反向传播（Backpropagation through time）
下图定义了element-wise损失函数 L<t> 以及整个序列的损失函数 L，蓝色箭头是正向传播的计算，红色箭头是反向传播的计算，绿色是权重，权重在正向计算时是已知数，而在反向传播时是被更新的数。
4. 不同类型的RNN
one-to-one: 就是最普通的神经网络，可以说压根不是我们讨论的RNN，这种情况可以省略$a^{<0>}$。
one-to-many: music generation、image captioning。
many-to-one: sentiment classification，根据用户的一句描述句子判定用户的打分，比如1、2、3、4、5分。
many-to-many (同样长度): video classification on frame level。
many-to-many (不同长度): machine translation，前一部分是encoder，后一部分是decoder。
5. 用RNN构建语言模型
语言模型可以判定一个句子正确与否，主要应用于语音识别、机器翻译等领域。对于发音相同的单词，语言模型根据上下文评估它们正确的概率，从而选出最恰当的那一个。传统的语言模型是用统计学方法实现的，现在则广泛的使用RNN来实现。
用RNN实现语言模型，首先要找一个语料库；然后对每个句子标记化（tokenize），意思是把每个单词转换成one-hot vector（也就是词典中的索引），除了上文提到的增加一个<UNK>描述词典中没有的单词，也会增加一个<EOS>（end of sentence）描述一句话的结束，如果需要的话也可以把标点符号加入到词典中。RNN的第一个时间步（time step），把初始输入x<1>和a<0>都设为0向量，输出$\hat{y}^{<1>}$描述的是词典中所有单词出现在第一个单词的概率。第二个时间步，输入x<2>是正确的第一个单词y<1>，输出$\hat{y}^{<2>}$描述的是在已知第一个单词的情况下第二个单词的概率。以此类推，完成所有时间步。然后根据每一步的预测$\hat{y}^{<t>}$和真实的y<t>定义cost function，并得到整体的cost function。
6. Sampling novel sequences
训练好一个RNN网络后，我们可以让它生成新的序列，来了解这个模型学到了什么。具体做法是：1）和训练阶段一样，把a<0>、x<1>设置为0向量，得到输出$\hat{y}^{<1>}$描述的是词典中所有单词出现在第一个单词的概率，然后我们根据这个概率分布随机选取出第一个单词，可以利用 np.random.choice。2）把第一步的输出（或者说根据概率分布随机选取的第一个单词）当成第二时间步的输入，即x<2>=$\hat{y}^{<1>}$，从而得到输出$\hat{y}^{<2>}$。3）依次类推下去。什么时候终止这种采样呢？可以规定当生成了<UNK>就结束，或者自己规定生成单词的数量。
之前说的语言模型都是基于单词（也就是说，词典里都是单词），另一种考虑方式是Character-level language model，此时词典里都是字符，包括大小写字母、标点符号、数字等，比如 Vocabulary = [a, b, ..., z, 空格, 。, ;, ... , 0, 1, ..., 9, A, B, ... Z ]。这种做法的好处是不会遇到词典中没有的单词，各种单词都能处理。缺点是：1）序列会比基于单词的模型长得多，因为一句话可能十几个单词，但是有好多好多字符，所以基于字符的语言模型不太擅长捕捉句子中的依赖关系（比如句子前面的单词如何影响后面的单词）；2）训练的计算成本非常高。所以在NLP领域，绝大多数情况都是用基于单词的语言模型，但随着计算机性能越来越好，会有更多的应用开始使用基于字符的模型。有一些特定的应用场景，比如有非常多的词典中不存在的单词（比如专有名词），会很乐于用基于字符的模型。
7. RNN中梯度消失的问题
对于这样的两句话：1) The cat, which already ... , was full. 2) The cats, which already ..., were full. 这种情况表明一句话中的单词会依赖离得很远的单词，cat对应was，cats对应were，中间插入了很长的从句。这种情况普通的RNN很难处理，因为普通的RNN的输出只依赖附近的输入，很难记住很久之前的输入。梯度在一个时间步一个时间步的传播过程中，会遇到vanishing和exploding的问题，这和很多层的深度神经网络一样。相对来说，exploding还好处理一点，因为数据会变得很大以至于出现NaN，我们可以很容易发现，然后可以用梯度修剪（gradient clipping）解决。而vanishing的问题就不是很好发现，就比较难处理。
8. GRU (Gated Recurrent Unit) 门控制循环单元
GRU可以很好地处理上节提到的RNN中梯度消失的问题，从而使得RNN可以捕获距离更远的单词之间的依赖关系。两篇论文：1）Cho et al., 2014. On the properties of neural machine translation: Encoder-decoder approaches. 2) Chung et al., 2014. Empirical Evalution of Gated Recurrent Neural Networks on Sequence Modeling.
为了更好地描述GRU，先来看RNN单元的一种可视化描述：a<t-1>和x<t>作为输入加权求和后经过一个非线性激活函数（这里假设是tanh）得到输出a<t>，并且可以通过另一个非线性激活函数（这里假设是softmax）得到输出$\hat{y}^{<t>}$。
下图是简化版的GRU，定义了一个新的变量 c，用来记忆单词的特性（比如cat是单数还是复数）。在GRU中，c<t> = a<t>，在LSTM中，两者是不等价的。每一个时间步，先计算出$\tilde{c}^{<t>}$，这是c<t>的后选值。c<t>是否真的等于$\tilde{c}^{<t>}$则取决于另一个变量$\Gamma_u$（符号的意思是更新门，update gate）。$\Gamma_u$取值在0、1之间，由sigmoid函数得到，目的是控制何时更新c<t>。比如，在看到cat时，$\Gamma_u$为1，更新c<t>为1表示是单数，之后$\Gamma_u$一直为0，c<t>一直不更新，所以看到was时仍然记得cat是单数。另外，由于要记忆好多不同的量，所以c<t>是一个n维的向量，于是$\Gamma_u$也是同样维度的向量，$\Gamma_u*\tilde{c}^{<t>}$的*是对应元素的乘积。
完整版的GRU如下图所示，增加了一个新的变量$\Gamma_r$（r是relevance的缩写），描述了计算$\tilde{c}^{<t>}$时，跟c<t-1>有多大的相关性。
9. LSTM (Long Short Term Memory) unit
LSTM和GRU一样，都是为了捕获词语之间更长时间的依赖关系，而且LSTM比GRU更强大更通用。论文：Hochreiter & Schmidhuber 1997, Long short-term memory。相比于GRU的两个门（update gate、relavance gate），LSTM有三个门（update gate、forget gate、output gate），在计算c<t>时，GRU是在$\tilde{c}^{<t>}$和c<t-1>之间二选一，而LSTM则可以二者叠加。另外，LSTM中，a<t>不再等于c<t>，而是由$\Gamma_o$控制。
下图是LSTM的可视化描述。另外可以注意到多个LSTM单元可以串联起来，只要设置好门的参数，c<0>可以很方便地直接传递给c<3>，或者说网络保持了对c<0>的记忆。
何时使用GRU，何时使用LSTM？没有统一的标准。在深度学习的发展史上，LSTM是比GRU更早出现的，GRU可以看成是对LSTM的简化。GRU的优点是：1）模型简单，更容易创建更大的网络；2）只有两个门，所以运行更快。LSTM的优点：因为有三个门，所以更强大、更灵活。所以如果必须二选一，可以把LSTM作为默认的选择来尝试，但Andrew NG认为近些年GRU获得了很多支持。
10. 双向RNN（Bidirectional RNN）模型
这种模型可以在计算时获取之前和之后的信息。和之前的单向RNN相比，双向RNN从前到后计算了一遍$\overrightarrow{a}^{<t>}$之后，还从后到前又计算了一遍$\overleftarrow{a}^{<t>}$，这里用左箭头和右箭头区分a<t>。如下图所示，具体计算流程是，先计算$\overrightarrow{a}^{<1>}$到$\overrightarrow{a}^{<4>}$，再计算$\overleftarrow{a}^{<4>}$到$\overleftarrow{a}^{<1>}$。值得注意的是，这里的反向计算依旧是前向传播，而不是求导调整权重的那个反向传播。把所有的$\overrightarrow{a}^{<t>}$和$\overleftarrow{a}^{<t>}$都计算完了，然后可以预测$\hat{y}^{<t>}$。这里计算a<t>的单元可以不仅仅是标准的RNN，也可以是GRU或者LSTM。对于很多NLP问题，基于LSTM单元的双向RNN是最常见的模型。双向RNN的缺点是：必须计算完整的序列，才能预测任意时间步的输出。比如语音输入的场景，双向RNN需要等用户说完才能获取结果。
11. 深层循环神经网络（Deep RNNs）
为了学习更复杂的函数，像标准的神经网络一样，通常我们会把多个RNN网络堆叠起来，构建更深、更复杂的模型。用a[l]<t>表示第l层网络的第t个时间步的激活值，为了计算a[l]<t>每一层有自己的权重Wa[l]和ba[l]。对于一般的神经网络，可能有100多层的深度，而对于RNN来说，三层已经很多了，因为有水平方向时间步的连接，网络已经非常大。但是在计算y<t>时，可能会串联一个很深的常规神经网络，这个很深的网络只是纵向连接，并不水平方向连接。而计算a[l]<t>的单元可以不是标准的RNN，而是GRU或者LSTM。另外，也可以拓展到深层的双向RNN网络。
