关于扩展欧几里得

给出两个整数a,b

扩展欧几里得可以求出gcd(a,b)，并且能顺带算出一组特解(x,y)，

使ax+by=gcd(a,b)。

其实扩展欧几里得算法就是收集辗转相除法中产生的式子，倒回去，可以得到ax+by=gcd(a,b)的整数解。

原理如下：

设a=r₀，b=r₁，

那么根据辗转相除法，

r₀=q₁*r₁+r₂     (即a=q₁*b+r₂)

r₁=q₂*r₂+r₃

r₂=q₃*r₃+r₄

.......

r_k-4=q_k-3*r_k-3+r_k-2

r_k-3=q_k-2*r_k-2+r_k-1

r_k-2=q_k-1*r_k-1+r_k

r_k-1=q_k*r_k+0，最后一式

那么r_k=gcd(a,b)，这就是辗转相除法，

把上面的k个式子移项，得

r₂=r₀ - q₁*r₁   (即r₂=a-q₁*b)

r₃=r₁ - q₂*r₂

r₄=r₄ - q₃*r₃

.......

r_k-2=r_k-4 - q_k-3*r_k-3

r_k-1=r_k-3 - q_k-2*r_k-2

r_k=r_k-2 - q_k-1*r_k-1

0=r_k-1 - q_k*r_k      
对于倒数第二个式子r_k=r_k-2-q_k-1*r_k-1，令x_k-1=1，y_k-1= -q_k-1，

那么倒数第二式变为 r_k=x_k-1*r_k-2 + y_k-1*r_k-1 ，

把倒数第三个式子r_k-1=r_k-3 - q_k-2*r_k-2代入上式消去r_k-1，得

r_k=y_k-1*r_k-3 + (x_k-1 - y_k-1*q_k-2)*r_k-2，与式r_k=x_k-2*r_k-3 + y_k-2*r_k-2 对比系数可知，

x_k-2=y_k-1，

y_k-2=x_k-1 - y_k-1 * q_k-2，其中 q_k-2 = r_k-3 / r_k-2

然后重复上面的过程，依次把倒数第四，五......k个式子代入倒数第二个式子，

便可以依次消去r_k-1,r_k-2,......r₂，而剩下r₀和r₁，

即把r_k表示成a和b的线性组合，r_k=x₁*a + y₁*b，这样便求出了一组特解(x,y)。

可以概括为一句话：收集辗转相除法中产生的式子，从后往前逐一代，就可将

r_k表示成a和b的线性组合。

下面是扩展gcd的程序

#include<cstdio>
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;//好像只要y是a的倍数都行 
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-y*a/b;
    printf("x=%d,y=%d\n",x,y);
    return r;
}

int main()
{
    int a,b,x,y;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    /*exgcd(a,b)求出gcd(a,b),
    并且求出一组特解(x,y)使ax+by=gcd(a,b) */
    int r=exgcd(a,b,x,y);
    printf("x=%d,y=%d,gcd(%d,%d)=%d\n",x,y,a,b,r);
    return 0;
}

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递归的终止条件为

if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }

为什么终止后x=1，y=0呢？(后来发现只要y是a的倍数好像都行,暂时没有证明)

其实就是这个程序运行到了下面最后一条式子：

r₂=r₀ - q₁*r₁   (即r₂=a-q₁*b)

r₃=r₁ - q₂*r₂

r₄=r₄ - q₃*r₃

.......

r_k-2=r_k-4 - q_k-3*r_k-3

r_k-1=r_k-3 - q_k-2*r_k-2

r_k=r_k-2 - q_k-1*r_k-1

0=r_k-1 - q_k*r_k      

r=r_k - q_k+1*0，      比上面人工算多出一条式子递归出口，这里r=gcd(a,b)

运行到这里程序中的b==0，然后赋值x=1，y=0，

赋值x=1，y=0的原因：

x=1，y=0实际上就是上面的x_k+1=1，y_k+1=0，

我们来推导一下，

根据推导的公式

x_k-2=y_k-1，

y_k-2=x_k-1 - y_k-1 * q_k-2，

可以得到x_k=y_k+1=0，y_k=x_k+1 - y_k+1*q_k=1 - 0*q_k=1，

继续倒推x_k-1=y_k=1，y_k-1 = x_k - y_k*q_k-1 = 0 - 1*q_k-1 = - q_k-1 ，

这里跟上面的设定“令x_k-1=1，y_k-1= -q_k-1”一致，

因此可以赋值x=1，y=0。

只要把上面的过程自己用笔推导一遍就可以理解扩展gcd了。