三角函数和解三角形的考向收集整理

\(\fbox{例1}\)

已知函数\(f(x)=2sinx\cdot cosx+2\sqrt{3}\cdot cos^2x-\sqrt{3}+1\)

• 变形方向：正弦型(或余弦型)；变形公式：逆用二倍角的正弦、余弦公式和辅助角公式；
  

\(f(x)=sin2x+\sqrt{3}(1+cos2x)-\sqrt{3}+1\)

\(=sin2x+\sqrt{3}cos2x+1\)

\(=2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})+1\)

• ①求周期；
  

由\(T=\cfrac{2\pi}{2}\)，得到\(T=\pi\)

• ②求值域\((x\in R 或 x\in [-\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{\pi}{4}])\)；最值(和最值点)；
  

若\(x\in R\)，则

当\(sin(2x+\cfrac{\pi}{3})=1\)时，即\(2x+\cfrac{\pi}{3}=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，即\(x=k\pi+\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)时，\(f(x)_{max}=2\times1+1=3\)；

当\(sin(2x+\cfrac{\pi}{3})=-1\)时，即\(2x+\cfrac{\pi}{3}=2k\pi-\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，即\(x=k\pi-\cfrac{5\pi}{12}(k\in Z)\)时，\(f(x)_{max}=2\times(-1)+1=-1\)；

若\(x\in [-\cfrac{\pi}{3}，\cfrac{\pi}{4}]\)，则可得

\(-\cfrac{2\pi}{3}\leq 2x\leq \cfrac{\pi}{2}\)，则\(-\cfrac{\pi}{3}\leq 2x+\cfrac{\pi}{3}\leq \cfrac{5\pi}{6}\)，

故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=-\cfrac{\pi}{3}\)，即\(x=-\cfrac{\pi}{3}\)时，\(f(x)_{min}=f(-\cfrac{\pi}{3})=2\times (-\cfrac{\sqrt{3}}{2})+1=-\sqrt{3}+1\)；

故当\(2x+\cfrac{\pi}{3}=\cfrac{\pi}{2}\)，即\(x=\cfrac{\pi}{12}\)时，\(f(x)_{max}=f(\cfrac{\pi}{12})=2\times 1+1=3\)；

• 求单调区间\(\left(x\in R 或x\in [-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{\pi}{2}]\right)\)(具体解法参见例2的法1和法2)
  

• 求函数\(f(x)\)对称轴方程和对称中心坐标；
  

令\(2x+\cfrac{\pi}{3}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，得到\(f(x)\)对称轴方程为\(x=\cfrac{k\pi}{2}+\cfrac{\pi}{12}(k\in Z)\)；

令\(2x+\cfrac{\pi}{3}=k\pi(k\in Z)\)，得到\(f(x)\)的对称中心坐标为\((\cfrac{k\pi}{2}-\cfrac{\pi}{6}，1)(k\in Z)\)

• 求奇偶性\(\left(奇函数利用f(0)=0；偶函数利用f(0)=f(x)_{max}或f(x)_{min}\right)\)
  

比如，函数\(g(x)=2sin(2x+\phi+\cfrac{\pi}{3})(\phi\in (0，\pi))\)是偶函数，求\(\phi\)的值。

分析：由于函数\(g(x)\)是偶函数，则在\(x=0\)处必然取到最值，

故有\(2\times 0+\phi+\cfrac{\pi}{3}=k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，

则\(\phi=k\pi+\cfrac{\pi}{6}(k\in Z)\)

令\(k=0\)，则\(\phi=\cfrac{\pi}{6}\in (0，\pi)\)，满足题意，故所求\(\phi=\cfrac{\pi}{6}\)时，函数\(g(x)\)是偶函数。