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【题意】给定n和m，求1~n从高位到低位连接%m的结果。n=11时，ans=1234567891011%m。n<=10^18，m<=10^9。
【算法】递推+矩阵快速幂
【题解】
考虑枚举位数个数k，对于不同的k单独递推，设f[i]表示1~i的答案，则有：
$$f_n=f_{n-1}*10^k+i$$
转化为矩阵递推式，则有：
$$\begin{vmatrix}10^k & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{vmatrix} \times \begin{vmatrix}f_n \\ n\\1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}f_{n+1}\\n+1\\1\end{vmatrix}$$
转化为幂形式，则有：
$$\begin{vmatrix}10^k & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{vmatrix}^n \times \begin{vmatrix}f_i \\ i\\1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix}f_{i+n}\\i+n\\1\end{vmatrix}$$
分段进行矩阵快速幂即可。
注意读入的n是long long。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #define ll long long using namespace std; const int N=3; int c[N][N],ANS[N][N],A[N][N],m; ll n;/// void multply(int a[N][N],int b[N][N]){ for(int i=0;i<=2;i++){ for(int j=0;j<=2;j++){ c[i][j]=0; for(int k=0;k<=2;k++){ c[i][j]=(c[i][j]+1ll*a[i][k]*b[k][j]%m)%m; } } } for(int i=0;i<=2;i++)for(int j=0;j<=2;j++)b[i][j]=c[i][j]; } void solve(ll p,int &f,int x,int k){ memset(A,0,sizeof(A)); A[0][1]=A[0][2]=A[1][1]=A[1][2]=A[2][2]=1;A[0][0]=k; ANS[0][0]=f;ANS[1][0]=x%m;ANS[2][0]=1; while(p){ if(p&1)multply(A,ANS); multply(A,A); p>>=1; } f=ANS[0][0]; } int main(){ scanf("%lld%d",&n,&m); ll x=0,y=9; int k=10%m,ans=0; while(x+y<n){ solve(y,ans,x%m,k);// x+=y;y*=10;k=1ll*k*10%m; } solve(n-x,ans,x%m,k); printf("%d",ans%m); return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/onioncyc/p/6580039.html
