标签：i+1 rac n+1 -- 数列 自己 求和 log 自然数
求$\sum_{i=1}^ni^mm^i$。
其实我也不知道这东西为啥叫“扰动法”，大概是在黑暗的边缘试探？就是那种，人家再多一点就被您看破了，然后您就一定要搞他那么一点去试探他的限度，一不小心给他搞爆了，这种感觉。
扰动三连：
等比数列求和：
$\sum_{i=1}^na_i,a_i=a_1*q^{n-1}$。
令$S_n=\sum_{i=1}^na_i$。
给他日上个$n+1$。
$S_n+a_{n+1}$
$=\sum_{i=1}^{n+1}a_i$
$=a_1+q\sum_{i=1}^na_i$
$=a_1+qS_n$
可得$S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，厉害吧！
自然数幂求和：
$\sum_{i=1}^ni^m$。
令$S_n^m=\sum_{i=1}^ni^m$。
给他日上个$n+1$。
$S_n^m+(n+1)^m$
$=\sum_{i=1}^{n+1}i^m$
$=1+\sum_{i=1}^n(i+1)^m$
$=1+\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}i^j$
$=1+\sum_{j=0}^m\binom{m}{j}\sum_{i=1}^ni^j$
$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m}{j}S_n^j+S_n^m$
emmmmmm自己把自己日掉了，不虚我们把$m$变成$m+1$。
$S_n^{m+1}+(n+1)^{m+1}$
$=1+\sum_{j=0}^{m}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}$
$=1+\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j+S_n^{m+1}+(m+1)S_n^m$
已经知道了。$S_n^m=\frac{(n+1)^{m+1}-\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}{j}S_n^j}{m+1}$。
可以$m^2$。要是给个好膜数可以$mlogm$。
这道题：
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Blue233333/p/8780088.html
