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已知函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于\(x\)轴的对称点，则\(a\)的取值范围为【 】
A.\((-\infty，e)\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，e]\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\infty，-\cfrac{1}{e})\) \(\hspace{2cm}\) D. \((-\infty，-\cfrac{1}{e}]\)
分析：函数\(f(x)=lnx-x^3\)与\(g(x)=x^3-ax\)的图像上存在关于x轴的对称点，即当\(x=x_0\)时，\(f(x_0)=-g(x_0)\)。
所以方程\(f(x)=-g(x)\)有解， 所以\(lnx-x^3=-x^3+ax\)有解，
所以\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，
令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，由导数知识可知，\(f(x)\)在\((0，e)\)上单调递增，在\((e，+\infty)\)上单调递减，
又\(f(e)=\cfrac{1}{e}\)，故函数\(h(x)\in (-\infty，\cfrac{1}{e}]\)，故\(a\)的取值范围为\((-\infty，-\cfrac{1}{e}]\) ，选D。
\(\fbox{法2}\)
转换为方程\(lnx=ax\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=lnx\)和函数\(y=ax\)图像在\((0,+\infty)\)上有交点，利用数形结合求解；
\(\fbox{法3}\)
接上转换为方程\(a=\cfrac{lnx}{x}\)在\((0,+\infty)\)有解，即函数\(y=h(x)=\cfrac{lnx}{x}\)和函数\(y=a\)的图像有交点，利用数形结合求解；
【姊妹题】(2018陕西省高三第二次质检第12题)
已知函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，则则\(a\)的取值范围为【 】
A.\((-\infty，\cfrac{1}{e})\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，e)\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\cfrac{1}{e}，e)\) \(\hspace{2cm}\) D. \((-e，\cfrac{1}{e}]\)
分析：函数\(f(x)=e^x+2(x<0)\)与\(g(x)=ln(x+a)+2\)的图像上存在关于\(y\)轴对称的点，即\(f(-x_0)=g(x_0)\)。
即方程\(f(-x)=g(x)\)有解，
所以当\(x>0\)时，\(e^{-x}+2=ln(x+a)+2\)有解，
即方程\(e^{-x}=ln(x+a)\)在\(x>0\)时有解，
即函数\(y=e^x\)与函数\(y=ln(x+a)\)图像有交点，
如右图所示可知，当函数\(y=ln(x+a)\)过点\((1，0)\)时，没有交点，
此时由\(ln(0+a)=1\)可得，\(a=e\)；
又由图像平移可知，需要将函数\(y=ln(x+a)\)向右移动才会有交点，
故\(a<e\)，即\(a\)的取值范围是\((-\infty，e)\)，选B.
\(\fbox{例2}\)
若函数\(f(x)=x+alnx\)不是单调函数，则实数\(a\)的取值范围是 【 】
A.\([0，+\infty)\) \(\hspace{2cm}\) B.\((-\infty，0]\) \(\hspace{2cm}\) C. \((-\infty，0)\) \(\hspace{2cm}\) D. \((0，+\infty)\)
分析：由题意知\(x>0\)，又\(f′(x)=1+\cfrac{a}{x}\)，
要使函数\(f(x)=x+alnx\)不是单调函数，
则需方程\(1+\cfrac{a}{x}=0\)在\(x>0\)上有解，
即方程\(a=-x\)在\(x>0\)上有解，
又函数\(g(x)=-x\)在\(x>0\)上的值域是\((-\infty，0)\)，故\(a\in(-\infty，0)\)。
\(\fbox{例3}\)(不是单调递减)
已知函数\(f(x)=-\cfrac{1}{3}x^3+bx^2-(2b+3)x+2-b\)在R上不是单调递减函数，则\(b\)的取值范围是___________。
分析：若是R上的单调递减函数，则\(f'(x)\leq 0\)恒成立，
现在不是R上的单调递减函数，
故\(f'(x)=-x^2+2bx-2b-3=-(x-b)^2+b^2-2b-3>0\)在R上能成立，
故只需要\(f'(x)_{max}=b^2-2b-3>0\)即可，
解得\(b<-1\)或\(b>3\)。故\(b\in (-\infty，-1)\cup(3，+\infty)\)。
反思总结：不是单调递减的情形可能包含有单调递增函数或常函数或有增有减函数。
\(\fbox{例4}\)(函数不单调)
函数\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-x^2+ax-5\)在区间\([-1，2]\)上不单调，则实数\(a\)的取值范围是_________。 \((-3，1)\)
法1：补集思想，\(f'(x)=x^2-2x+a\)，
若函数\(f(x)\)在\([-1，2]\)上单增，则\(f'(x)=x^2-2x+a\ge 0\)恒成立，分离参数得到\(a\ge -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函数\(f(x)_{max}=1\)，故\(a\ge 1\)；
若函数\(f(x)\)在\([-1，2]\)上单减，则\(f'(x)=x^2-2x+a\leq 0\)恒成立，分离参数得到\(a\leq -x^2+2x\)恒成立，在\([-1，2]\)上求得函数\(f(x)_{min}=-3\)，故\(a\leq -3\)；
故取其补集，当\(-3<a<1\)时，函数\(f(x)\)在区间\([-1，2]\)上不单调。
法2：由题可知\(f(x)\)不单调，则导函数\(y=f'(x)\)在区间\([-1，2]\)上至少有一个变号零点，
当只有一个变号零点时，由\(f'(-1)\cdot f'(2)\leq 0\)可得，\(-3\leq a\leq 0\)；
当有两个变号零点时，由\(\begin{cases}f'(-1)>0\\f'(2)>0\\\Delta >0\end{cases}\)，解得\(0<a<1\)；
综上所述，实数\(a\)的取值范围是\((-3，1)\)。
\(\fbox{例4}\)(正弦定理解三角形)
如果满足\(\angle ABC=60^{\circ}\)，\(AC=12\)，\(BC=k\)的三角形\(\Delta ABC\)恰有一个，那么\(k\)的范围是多少？
法1：从数的角度入手，由正弦定理\(\cfrac{k}{sinA}=\cfrac{12}{sin60^{\circ}}\)，
得到方程\(k=8\sqrt{3}sinA，A\in(0，\cfrac{2\pi}{3})\)有一个解，或者两个函数图像有一个交点，数形结合求解即可。
\(0<k\leq 12\)或\(k=8\sqrt{3}\)，图像待补充。
法2：待补充，从形的角度入手。
已知关于\(x\)的方程\(2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1-a=0\)在区间\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上存在两个根，则实数\(a\)的取值范围是________。
等价问法【已知函数\(y=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})+1-a\)在区间\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上有两个零点，则实数\(a\)的取值范围是________。】
分析：题目先转化为方程\(sin(x+\cfrac{\pi}{6})=\cfrac{a-1}{2}\)在区间\([0，\cfrac{2\pi}{3}]\)上存在两个根，
再转化为函数\(y=sin(x+\cfrac{\pi}{6})\)和函数\(y=\cfrac{a-1}{2}\)有两个不同的交点，
然后在同一个坐标系中做出这两个函数的图像，
由于\(x\in [0，\cfrac{2\pi}{3}]\)，故\(t=x+\cfrac{\pi}{6}\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6}]\)，
做出函数\(y=sint，t\in [\cfrac{\pi}{6}，\cfrac{5\pi}{6}]\)的图像和函数\(y=\cfrac{a-1}{2}\)的图像，如图一所示，
由图像可以看出，\(\cfrac{1}{2}\leq \cfrac{a-1}{2}<1\)
解得\(2\leq a<3\)，故\(a\in [2，3)\)。
反思总结：
1、当横轴是\(x\)轴(如图二)和\(t=x+\cfrac{\pi}{6}\)(如图一)时，都可以得到结论\(\cfrac{1}{2}\leq \cfrac{a-1}{2}<1\)，
但是利用图一的做法，手工作图非常快捷，由于用到了整体思想，我们就可以利用模板函数的现成图像，
只需要在现成的图像上面截取我们需要的那一部分就可以了。这种方法我们需要仔细体会，用心揣摩。示例
2、为什么这两种方法都可以？
是因为\(a=f(x)\)有解的题目，其实就是求函数\(f(x)\)的值域问题，而函数的值域的求法中，这两种方法殊途同归。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7921180.html
