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逆元求解

费马小定理

假如a是一个整数，b是一个素数，\(gcd(a,p)=1\),则
\(a^{p-1}\equiv1(mod(p))\)
应用：

• 降次：\(a^bmod(p)=a^{(b)mod (p)}mod(p)\)

• 质数逆元：\(\frac{1}{a}mod (p)=a^(p-2)mod(p)\)

  欧拉定理

  若\(n,a\)为正整数，且\(n,a\)互质，则
  \(a^{\phi(n)}\equiv 1(mod(n))\)
  费马小定理是欧拉定理的特殊情况，因为\(n\)为素数时，\(\phi(n)=n-1\)。
  拓欧降次：

• 当\(n>1\)时,\(a^b\%n=a^{b\%\phi(n)}\%n\)
• 当\(b\leq\phi(n)\)时，暴算
• 当\(b>\phi(n)\)时，\(a^b\%n=a^{b\%\phi(n)}\%n\)
  拓欧解方程

• 求解\(a\equiv 1(mod(q)),x>0\)
  则x解集为\(\phi(q)\)的约数与倍数。

  实践

  给定\(a,p(p>1),gcd(a,p)=1\),求\(a\)在模\(p\)意义下的逆元。

• 用Exgcd解方程\(ax\equiv 1(mod(p))\)
  即\(ax+by=1\)

  int exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
  {
  if(!b) x=1,y=0,d=a;
  else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=x*(a/b);
  }
  {
    re int a;
    exgcd(i,p,g,x,y);
    while(x<0)    x+=p;
    printf("%d\n",x);
  }

• 利用欧拉定理\(a^{\phi(n)}\equiv1(mod(n))\)
  有式\(a^{-1}\equiv a^{\phi(n)-1}(mod(n))\)
• n为质数时，费马小定理
  \(a^{-1}\equiv a^{n-2}(mod(n))\)

• 线性求解
  \(inv[i]=(p-p/i)*inv[p\%i]\)

  矩阵乘法

  struct matrix{
  int a[100][100];
  matrix()
  {
    memset(a,0,sizeof(a));
  }
  int * operator [](int x)
  {
      return a[x];
  }
  matrix operator *(matrix b)
  {
      matrix c;
      for(int i=0;i<l;i++)
      for(int j=0;j<l;j++)
      for(int k=0;k<l;k++)
      c[i][k]=(c[i][k]+1ll*a[i][j]*b[j][k])%w;
      return c;
  }
  }S,T;

  高斯消元

  [专题总结][1]

  组合数学

  不可重组合数学（留坑）

• \(C^n_m\)表示在\(m\)中选\(n\)个的方案数。（把\(m\)个无区别物品放到\(n\)个有区别篮子的方案数)
  \(C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!}\)
  \(C^m_n=C_{n-1}^{m-1}+C^m_{n-1}\)
  \(C^k_n=C^{n-k}_n\)
  \(C^{k+1}_n=C^k_n*\frac{n-k}{k+1}\)
  \[(a+b)^n=\sum^n_{k=0}C_n^k a^{n-k} b^k\]
• \(P^n_m\)表示在\(m\)中选\(n\)个的排列数。（把\(m\)个有区别物品放到\(n\)个有区别篮子的方案数）
  \(P_m^n=C_m^n*n!\)

• \(S^n_m\)表示斯特林数。（把\(m\)个有区别物品放到\(n\)个无区别篮子，且篮子不空的方案数）
  \(S_m^n=S_m^{n-1}*m+S_{m-1}^{n-1}\)
  \(S_m^n=0(m>n)\)

可重组合数学

可重排列

有\(k\)个元素，其中第\(i\)个元素有\(n_i\)个，求全排列数。
\(P‘=\frac{(\sum_{i=1}^k n_i)!}{n_i!n_2!...n_k!}\)
即先全排列，然后给每个元素编号。

可重组合

有\(k\)个元素，每个元素可选无穷多个,一共选\(k\)个，求方案数。
\(C‘=C_{k-n+1}^{n-1}=C_{k-n+1}^k\)
假如第\(i\)个元素选\(x_i\)个，那么原问题变为\(x_1+x_2+...+x_n=k\)。
令\(y_i=x_i+1\),那么\(y_1+y_2+y_3+...+y_n=k+n\)
此时\(y>0\),即每个元素都要选。所以等于在\(k+n\)个元素(\(k+n-1\)个空位)间放\(n-1\)个隔板。

卡特兰数

前几个数：\(1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 1767263190\)
好像我只会用它打表找规律
公式:
\(C‘[n]=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\)
\(C‘[n]=\sum_{i=1}^{n-1} C‘^iC‘^{n-i}\)
应用：

• 一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?
• n个节点构成的二叉树，共有多少种情形？
• 求一个凸多边形区域划分成三角形区域的方法数？
• 在圆上选择2n个点，将这些点成对链接起来使得所得到的n条线段不相交，一共有多少种方法？
• n*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数.

• n层的阶梯切割为n个矩形的切法数。

  数论分块

  求解\(\sum_{i+1}^n\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)
  据观察，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的取值只有\(\sqrt{n}\)个。
  定理：若有一个值\(i\)，那么数论分块中其同值上界为\(ceil=\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor\)。
  即在\([i,ceil]\)这一段区间内，\(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor\)的取值是一样的，于是可计算整块贡献。

  int l = 1 , r , ans = 0;
  while(l<=n){
  r = n/(n/l);    
  ans += (r-l+1)*(n/i);
  l = r + 1;
  }

数论初步

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原文地址：https://www.cnblogs.com/yanshannan/p/8806665.html