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支持向量机，是用于解决分类问题。为什么叫做支持向量机，后面的内容再做解释，这里先跳过。
在之前《逻辑回归》的文章中，我们讨论过，对于分类问题的解决，就是要找出一条能将数据划分开的边界。
对于不同的算法，其定义的边界可能是不同的，对于SVM算法，是如何定义其边界的？其定义方法有什么优点？将是下面要讨论的内容。
先来讨论一个二分类问题。
数据样本如下图所示：
评判一个模型的优劣，最主要的，是其对样本的泛化能力。
若有一个新样本，其二维特征位置，如下图蓝色方块所示：
也就是说，蓝色边界所表示的模型，更有代表性。
而它，也是SVM算法所得到的模型。从直观上看，SVM确定的边界，刚好在两类样本的“中间”位置，不偏不倚。
下面接着讨论，SVM是如何确定边界的。
支持向量机的基本思想是：找到集合边缘上的若干数据（称为支持向量），用这些点找出一个平面（称为决策面），使得支持向量到该平面的距离最长。
该算法，依靠支持向量来求解边界，支持向量机这个名字，也来源于此。
以上面的样本为例，解释SVM的步聚，如下图：
找到两类样本边缘的若干个样本点，如上图中圈起来的三个样本
由上面的样本点，找到一个决策平面，该平面与两类样本的向量距离最长
综上所述，虽然还未涉及SVM的具体运算，但可以初步看出，支持向量机有如下优点：
计算量少。只使用了支持向量进行计算，而其他距离边界很远的点，其特征很明显，不会引起歧义，不用参与计算。
泛化能力好。因其定义的边界，距离正负样本距离是最长的，具备良好的区分效果。
本节，将讨论SVM寻找决策面的数学推理过程。
根据数据集的属性，可以将这个问题分为两个层次：
线性可分：数据分布简单，如上面的例子。可以找到一个超平面，直接在原始空间中将数据进行切分。
线性不可分：数据分布复杂，不存在这样的超平面，则通过将原始空间映射到一个高维空间，在高维空间对数据进行划分。
线性可分是一个最简单的分类问题，下面做推导。
\[ {(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)} \]
其中，\(y\) 的取值为 {+1,?1}。
从第一节知道，分类的手段是取得一个符合条件的决策平面。
平面可以用方程表示：
\[ w^Tx + b = 0 \]
那么问题的解决，则转化为找到符合条件的 \(w\) 和 \(b\)，条件是：使得数据集边缘若干点，到这个平面的距离是最长的。
因两类数据分布在决策平面的两侧，所以，\(y = -1\) 的样本点所在区域可表示为：
\[w^Tx + b < 0\]
同理， \(y = +1\) 的样本点所在区域为：
\[w^Tx + b > 0\]
那么支持向量所在的平面可以表示为：
\[w^Tx + b = \pm A\]
在后面的优化中，其实\(A\)的值为多少，并不影响结果，为了方便计算，令 \(A = 1\)，即：
\[w^Tx + b = \pm 1\]
如下图所示：
有了决策平面，接下来便是要计算支持向量到决策平台的距离，当该距离最长时所得到的参数，就是所需要的解。
由几何知识可知，点到平面的距离可以表示为：
\[ \gamma = \frac{w^Tx+b}{{||w||}} \]
此距离称为几何距离，存在正负。
而算法的目标，就是找到一个集合 \(x\) (支持向量)，使得 \(\gamma\) 的值最小。
因 \(y\) 的取值为{+1,?1}，所以上式可以乘上一个 \(y\)，使该距离恒为正。
所以最大距离可表示为：
\[ \gamma_{max} = max({\frac{y(w^Tx+b)}{{||w||}}}) \]
结合上一节的假设，支持向量所在方程：
\[ w^Tx + b = \pm 1 \]
故而
\[ y(w^Tx+b) = 1 \]
则最大距离简化为
\[ \gamma_{max} = max({\frac{1}{{||w||}}}) \]
求解上式最大值，等同于求解下式的最小化值
\[ min({\frac{1}{{2}}}||w||^2) \]
这里增加了一个1/2系数、和一个平方，是为了方便求导。一求导两者就相消了。
这个式子有还有一些限制条件，完整的写下来，应该是这样的：
\[ min({\frac{1}{{2}}}||w||^2),s.t,y(w^Tx+b)\geq1 \]
s.t.后面的限制条件可以看做是一个凸多面体，我们要做的就是在这个凸多面体中找到最优解。
求解该式，可以用拉格朗日乘子法去解，使用了KKT条件的理论。
对于具体的求解理论，这里不进行讨论，直接给出待求解式子的拉格朗日目标函数，如下，目标是让 $L(w,b,a) $ 针对 $ a $ 达到最大值：
\[ L(w,b,a) =\frac{1}{{2}}||w||^2-\sum_{i=1}^n \alpha_i(y_i(w^Tx+b)-1) \]
如何求解？
\(L\) 是关于 \(w、b、a\) 三个变量的函数，要得到使得 \(L\) 最大的 \(a\)，需进行两步操作：
首先需要先排除掉 \(w\) 和 \(b\) 的影响，让\(L\)关于\(w、b\) 最小化。如此一来，不管 \(w、b\) 如何改变，\(L\) 都不会再变小
接着再让 \(L\) 关于 \(a\) 取最大值
（1）求\(L\) 关于 \(w、b\) 最小值
在可导的情况下，极值在导数为0的位置。于是令 \(L\) 关于 \(w、b\) 的偏导数为0，即：
\[ \frac{\partial L}{\partial w} = 0 \]
\[ \frac{\partial L}{\partial b} = 0 \]
求解上面的导数，得到：
\[ w=\sum_{i=1}^n\alpha_iy_ix_i \]
\[ \sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \]
将上两式代入 $L(w,b,a) $，得到对偶问题的表达式：
\[ L(w,b,a) =\frac{1}{{2}}\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx^T_ix_j \]
于是新的目标问题及限制条件为（对偶问题）:
\[ \begin{cases} max_a(\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_jx^T_ix_j) \\s.t.,\alpha \geq0,i=1,2,...,n \\\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \end{cases} \]
这个就是我们需要最终优化的式子，只关于 \(α\) 向量的式子。
(2) L关于 \(α\) 的最大值
上式最终的对偶问题，是一个凸二次规划问题，理论上用任何一个解决凸二次规划的软件包都可以解决。
一般使用SMO算法，输入是样本，输出是 \(a\)
SMO基本思想是，不断执行如下两个步骤，直至收敛：
选取一对参数\((\alpha_i,\alpha_j)\)
固定 \(\alpha\) 向量的其他参数，将\((\alpha_i,\alpha_j)\)代入上述表达式进行求最优解获得更新后的\((\alpha_i,\alpha_j)\)
解出 \(a\) 后，\(w、b\)也就确定下来，进而能得到决策面。
具体的SMO算法细节，有些超过本文的定位，就不在此处展开。
上面讨论了线性可分的数据集的处理方式。但是，实际应用中的数据样本，可能更多的是线性不可分的，即不能找到一个可以将数据分类的超平面。
这种情况下，一般使用核函数将原始空间映射到一个高维空间，在高维高间对数据进行划分。理论上只要维度足够高，那么总能做到分类。
在线性可分的基础上，将样本 \(x\)，进行一次变换，得到\(\phi(x)\)
超平台变为：
\[ w^T\phi(x) + b = 0 \]
整个推理过程，与线性可分的基本一样，唯一不同的，是将各个公式化中的 \(x\)，换成 \(\phi(x)\)。
即得到对遇问题：
\[ \begin{cases} max_a(\sum_{i=1}^n\alpha_i - \frac{1}{{2}}\sum_{i,j=1}^n\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\phi(x_j)) \\s.t.,\alpha \geq0,i=1,2,...,n \\\sum_{i=1}^n\alpha_iy_i = 0 \end{cases} \]
令：
\[ \phi(x_i)^T\phi(x_j) = K(x_i,x_j) \]
这个式子所做的事情就是将线性的空间映射到高维的空间，K函数有很多种，下面是比较典型的两种：
\[ K(x_i,x_j) = (x_i.x_j+1)^d \]
\[ K(x_i,x_j) = exp(-\frac{(x_i-x_j)^2}{2\sigma^2}) \]
最后一样能通过各类软件包，例如SMO，实现求解。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Fordestiny/p/8660464.html
