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扩展欧几里得：
设 a 和 b 不全为 0， 则存在整数 x 和 y ,使得
gcd(a, b) == x*a + y*b;
求解 a*x + b*y = c;
令 d = gcd(a, b);
若 c % d == 0; 则有解{ a*x ≡ c (mod b) }
特解可以根据扩欧求得 通解为 X = x + k*(c/d); k ~ [0,d-1];
令 T = b/d;
最小解为 ( X % T + T ) % T;
以下来自博客：http://www.cnblogs.com/nwpuacmteams/articles/5545976.html
欧几里得算法的拓展应用中有如下三条定理：
定理一：如果d = gcd(a, b)，则必能找到正的或负的整数k和l，使d = a*x+ b*y。
定理二：若gcd(a, b) = 1，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b-1]上有唯一解。
定理三：若gcd(a, b) = d，则方程ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
证明：上述同余方程等价于ax + by = c，
如果有解，两边同除以d，就有a/d * x + b/d * y = c/d，即a/d * x ≡ c/d (mod b/d)，
显然gcd(a/d, b/d) = 1，所以由定理二知道x在[0, b/d - 1]上有唯一解。所以ax + by = c的x在[0, b/d - 1]上有唯一解，即ax ≡ c (mod b)在[0, b/d - 1]上有唯一解。
如果得到ax ≡ c (mod b)的某一特解X，那么令r = b/gcd(a, b)，可知x在[0, r-1]上有唯一解，所以用x = (X % r + r) % r就可以求出最小非负整数解x了！
（X % r可能是负值，此时保持在[-(r-1), 0]内，正值则保持在[0, r-1]内。加上r就保持在[1, 2r - 1]内，所以再模一下r就在[0, r-1]内了）。
推导过程：
1 //设x、y是第一次递归的值，x1、y1是下一次递归的值，则： 2 a*x + b*y == gcd(a, b); 3 gcd(a, b) == gcd(b, a%b); 4 a*x + b*y == b*x1 + a%b*y1; 5 == b*x1 + (a - a/b*b)y1; 6 == b*x1 + a*y1 - a/b*b*y1; 7 == a*y1 + b(x1 - a/b*y1); 8 9 x == y1; 10 y == x1 - a/b*y1;
扩欧实现
1 int x , y; 2 int exgcd(int a, int b){ 3 if(b == 0){ 4 x = 1; 5 y = 0; 6 return a; 7 } 8 int d , t; 9 d = exgcd(b, a%b); 10 t = x; 11 x = y; 12 y = t - a/b*y; 13 return d; 14 }
小刘
1 void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y){ 2 if(!b) d = a, x = 1, y = 0; 3 else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b); 4 }
大神博客：
http://www.cnblogs.com/heweiyou1993/p/3301886.html
以下均来以上博客
a,b是整数，m是正整数，形如a * x ≡ b (mod m)，且x是未知数的同余式称为一元线性同余方程。
定理1:假设d = gcd(a , m)，假设对于整数xx和yy有 d = a * xx + m * yy。若d|b（d能够整出b），那么方程 a * x ≡ b (mod m)有一个解X满足式子 X = xx * (a/b) % m ，其中xx可以用扩展欧几里得算法获得。
证明1：假设上述成立那么有 a * X ≡ a * xx * (b/d)(mod m),由于a * xx ≡ d (mod m),所以可得到 a * X ≡ d * (b/d)(mod m) ≡ b(mod m)。
定理2：对于a * x ≡ b (mod m)，若有解则必有d = gcd( a, m)个解。其解为 res = (X + i * ( b / d)) (mod m)，其中X为远同余方程的一个解，i的取值范围为 0 <= i < d。
证明2：若定理2成立则有 a * res (mod m) = a * (X + i * (b / d)) (mod m) = a * X + a* i * (b /d) (mod m) = a * X (mod m) = b。
由于一元线性同余方程的通解可以写成res = ( X + i * (b /d) ) (mod m) = X + i * (m/d) + m * y，由于 y 与 i 均为变量因此可以将其合并得到式子 res = X + y * ( m/d) （其中将原式中的 m * y 看做 m/d * d * y，由于y是变量因此可以将 d*y这个整体看为 y）,因此可以得到res = X(mod m/d) ，设m/d 为 t ，其最小正整数解可表示为 (X%t + t) % t。
@ 五指山
http://acm.nefu.edu.cn/JudgeOnline/problemShow.php?problem_id=84
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 ll x, y, d, xx, yy, M, a, b; 5 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){ 6 if(!b) d = a, x = 1, y = 0; 7 else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b); 8 } 9 int main(){ 10 int t; 11 cin >> t; 12 while(t--){ 13 cin >> b >> a >> xx >> yy; 14 ll M = yy - xx; 15 exgcd(a, b, d, x, y); 16 if(M % d == 0){ 17 x = x * (M/d); 18 ll w = b/d; 19 cout << (x%w + w) %w<<endl; 20 }else{ 21 cout << "Impossible" << endl; 22 } 23 } 24 return 0; 25 }
http://poj.org/problem?id=2115
求循环次数
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 ll x, y, d, xx, yy, M, a, b; 5 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){ 6 if(!b) d = a, x = 1, y = 0; 7 else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b); 8 } 9 int main(){ 10 while(cin >> xx >> yy >> a >> b){ 11 if(xx == 0 && yy == 0 && a == 0 && b == 0) break; 12 b = 1LL << b; //这里需要强制转化一下。。。。 13 M = yy - xx; 14 exgcd(a, b, d, x, y); 15 if(M % d == 0){ 16 x = x * (M/d); 17 ll w = b/d; 18 cout << (x%w + w) %w<<endl; 19 }else{ 20 cout << "FOREVER" << endl; 21 } 22 } 23 return 0; 24 }
@ http://poj.org/problem?id=2142
天平称重
1 #include <iostream> 2 #include <cmath> 3 using namespace std; 4 int a, b, c, d, x, y, w, M, X1, Y1, X2, Y2, mi, N; 5 void exgcd(int a, int b, int& d, int& x, int& y){ 6 if(!b) d = a, x = 1, y = 0; 7 else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b); 8 } 9 int main(){ 10 while(cin>>a>>b>>c,a,b,c){ 11 exgcd(a, b, d, x, y); 12 x = x*(c/d); 13 w = b/d; 14 X1 = (x%w + w)%w; 15 Y1 = (c-a*X1)/b; 16 if(Y1<0) Y1 = -Y1; 17 y = y*(c/d); 18 w = a/d; 19 Y2 = (y%w + w)%w; 20 X2 = (c-Y2*b)/a; 21 if(X2<0) X2 = -X2; 22 if(X1+Y1<X2+Y2) cout<<X1<< " " <<Y1 << endl; 23 else cout << X2 << " " << Y2<<endl; 24 } 25 return 0; 26 }
http://codeforces.com/contest/724/problem/C、
光线反射
啦啦啦啦。。。。就是这个题让我学习了拓展欧几里得。。。
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 #define INF 1e15 5 ll n, m, k, mx, xx, yy, a, b, d, x, y, sum, M; 6 void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll& y){ 7 if(!b) d = a, x = 1, y = 0; 8 else exgcd(b, a%b, d, y, x), y -= x*(a/b); 9 } 10 void solve(ll c, ll xx){ 11 if(c%d != 0) return ; 12 sum =min(sum,((x*(c/d))%M+M)%M*n+xx); 13 } 14 int main(){ 15 cin >> n >> m >> k, n*=2, m*=2; 16 exgcd(n, m, d, x, y), M = m/d; 17 while(k--){ 18 sum = INF; 19 cin >> xx >> yy; 20 solve(yy-xx, xx), solve(m-yy-xx, xx), solve(yy-n+xx, n-xx), solve(m-yy-n+xx, n-xx); 21 cout<<(sum == INF ? -1 : sum)<<endl; 22 } 23 }
以下来自大神博客http://blog.csdn.net/zhjchengfeng5/article/details/7786595
扩展欧几里德算法
谁是欧几里德？自己百度去
先介绍什么叫做欧几里德算法
有两个数 a b，现在，我们要求 a b 的最大公约数，怎么求？枚举他们的因子？不现实，当 a b 很大的时候，枚举显得那么的naïve ，那怎么做？
欧几里德有个十分又用的定理： gcd(a, b) = gcd(b , a%b) ，这样，我们就可以在几乎是 log 的时间复杂度里求解出来 a 和 b 的最大公约数了，这就是欧几里德算法，用 C++ 语言描述如下：
由于是用递归写的，所以看起来很简洁，也很好记忆。那么什么是扩展欧几里德呢？
现在我们知道了 a 和 b 的最大公约数是 gcd ，那么，我们一定能够找到这样的 x 和 y ，使得: a*x + b*y = gcd 这是一个不定方程（其实是一种丢番图方程），有多解是一定的，但是只要我们找到一组特殊的解 x0 和 y0 那么，我们就可以用 x0 和 y0 表示出整个不定方程的通解：
x = x0 + (b/gcd)*t
y = y0 – (a/gcd)*t
为什么不是：
x = x0 + b*t
y = y0 – a*t
这个问题也是在今天早上想通的，想通之后忍不住喷了自己一句弱逼。那是因为：
b/gcd 是 b 的因子， a/gcd 是 a 的因子是吧？那么，由于 t的取值范围是整数，你说 (b/gcd)*t 取到的值多还是 b*t 取到的值多？同理，(a/gcd)*t 取到的值多还是 a*gcd 取到的值多？那肯定又要问了，那为什么不是更小的数，非得是 b/gcd 和a/gcd ？
注意到：我们令 B = b/gcd ， A = a、gcd ， 那么，A 和 B 一定是互素的吧？这不就证明了 最小的系数就是 A 和 B 了吗？要是实在还有什么不明白的，看看《基础数论》（哈尔滨工业大学出版社），这本书把关于不定方程的通解讲的很清楚
现在，我们知道了一定存在 x 和 y 使得 ： a*x + b*y = gcd ， 那么，怎么求出这个特解 x 和 y 呢？只需要在欧几里德算法的基础上加点改动就行了。
我们观察到：欧几里德算法停止的状态是： a= gcd ， b = 0 ，那么，这是否能给我们求解 x y 提供一种思路呢？因为，这时候，只要 a = gcd 的系数是 1 ，那么只要 b 的系数是 0 或者其他值（无所谓是多少，反正任何数乘以 0 都等于 0 但是a 的系数一定要是 1），这时，我们就会有： a*1 + b*0 = gcd
当然这是最终状态，但是我们是否可以从最终状态反推到最初的状态呢？
假设当前我们要处理的是求出 a 和 b的最大公约数，并求出 x 和 y 使得 a*x + b*y= gcd ，而我们已经求出了下一个状态：b 和 a%b 的最大公约数，并且求出了一组x1 和y1 使得： b*x1 + (a%b)*y1 = gcd ， 那么这两个相邻的状态之间是否存在一种关系呢？
我们知道： a%b = a - (a/b)*b（这里的 “/” 指的是整除，例如 5/2=2 , 1/3=0），那么，我们可以进一步得到：
gcd = b*x1 + (a-(a/b)*b)*y1
= b*x1 + a*y1 – (a/b)*b*y1
= a*y1 + b*(x1 – a/b*y1)
对比之前我们的状态：求一组 x 和 y 使得：a*x + b*y = gcd ，是否发现了什么？
这里：
x = y1
y = x1 – a/b*y1
以上就是扩展欧几里德算法的全部过程，依然用递归写：
依然很简短，相比欧几里德算法，只是多加了几个语句而已。
这就是理论部分，欧几里德算法部分我们好像只能用来求解最大公约数，但是扩展欧几里德算法就不同了，我们既可以求出最大公约数，还可以顺带求解出使得： a*x + b*y = gcd 的通解 x 和 y
扩展欧几里德有什么用处呢？
求解形如 a*x +b*y = c 的通解，但是一般没有谁会无聊到让你写出一串通解出来，都是让你在通解中选出一些特殊的解，比如一个数对于另一个数的乘法逆元
什么叫乘法逆元？
这里，我们称 x 是 a 关于 m 的乘法逆元
这怎么求？可以等价于这样的表达式： a*x + m*y = 1
看出什么来了吗？没错，当gcd(a , m) != 1 的时候是没有解的这也是 a*x + b*y = c 有解的充要条件： c % gcd(a , b) == 0
接着乘法逆元讲，一般，我们能够找到无数组解满足条件，但是一般是让你求解出最小的那组解，怎么做？我们求解出来了一个特殊的解 x0 那么，我们用 x0 % m其实就得到了最小的解了。为什么？
可以这样思考：
x 的通解不是 x0 + m*t 吗？
那么，也就是说， a 关于 m 的逆元是一个关于 m 同余的，那么根据最小整数原理，一定存在一个最小的正整数，它是 a 关于m 的逆元，而最小的肯定是在（0 , m）之间的，而且只有一个，这就好解释了。
可能有人注意到了，这里，我写通解的时候并不是 x0 + (m/gcd)*t ，但是想想一下就明白了，gcd = 1，所以写了跟没写是一样的，但是，由于问题的特殊性，有时候我们得到的特解 x0 是一个负数，还有的时候我们的 m 也是一个负数这怎么办？
当 m 是负数的时候，我们取 m 的绝对值就行了，当 x0 是负数的时候，他模上 m 的结果仍然是负数（在计算机计算的结果上是这样的，虽然定义的时候不是这样的），这时候，我们仍然让 x0 对abs(m) 取模，然后结果再加上abs(m) 就行了，于是，我们不难写出下面的代码求解一个数 a 对于另一个数 m 的乘法逆元：
只有不断学习才能进步！
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原文地址：https://www.cnblogs.com/wenbao/p/5943832.html
