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设\(n(n>2)\)阶行列式\(\det A\)的所有元素或为\(1\)或\(-1\)，求证：\(\det A\)的绝对值小于等于\((n-1)!(n-1)\).
\(solution:\)
数学归纳法.
考虑\(n=3\)的情形，第一列元素均为1或-1，故可对这一列上-1所在行乘-1使得第一列元素全为1，而\(abs(det A)\)值不变再对第二列第三列做同样的事，使得第一行元素全为-1；将第一列加到第二列、第三列，得
\[ \left| \begin{matrix} 1& 0& 0\ 1& a& b\ 1& c& d\\end{matrix} \right| \]
\(a,b,c,d\)取值为0或2，
\[ \left| \begin{matrix} a& b\ c& d\\end{matrix} \right|\leq4. \]
所以\(detA\leq4=(3-1)!(3-1)\).设对\(n-1\)也成立，考虑\(n\)，对\(detA\)按第一列展开，易得.
本题可加强为绝对值小于等于\(\frac{2}{3}n!\).
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原文地址：https://www.cnblogs.com/lagrange/p/8854424.html
