BZOJ_3944_Sum_杜教筛

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BZOJ_3944_Sum_杜教筛

Description

Input

Output

Sample Input

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

学习下杜教筛，推一波式子。

首先有反演式子$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n$

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{d|i}\varphi(d)=\frac{n*(n+1)}{2}$

约数$j$出现了$n/j$次，故约数$j$将会在$i=n/j$时停止枚举。

相当于第$i$次枚举$1$到$n/i$中的数即可。

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor n/i\rfloor}
\varphi(j)=\frac{n*(n+1)}{2}$

$\sum\limits_{i=1}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

$sum[n]+\sum\limits_{i=2}^{n}sum[n/i]=\frac{n*(n+1)}{2}$

然后记忆化搜索，每次可以分块求，总时间复杂度$O(n^{\frac{3}{4}})$。

根据均值不等式，预处理出$n^{\frac{2}{3}}$内的答案再用上面的式子能够最优。

总时间复杂度$O(n^{\frac{2}{3}}logn)，log$是$map$带来的。

BZOJ_3944_Sum_杜教筛

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原文地址：https://www.cnblogs.com/suika/p/8903341.html