【bzoj 2159】Crash 的文明世界

Crash小朋友最近迷上了一款游戏——文明5(Civilization V)。在这个游戏中，玩家可以建立和发展自己的国家，通过外交和别的国家交流，或是通过战争征服别的国家。现在Crash已经拥有了一个N个城市的国家，这些城市之间通过道路相连。由于建设道路是有花费的，因此Crash只修建了N-1条道路连接这些城市，不过可以保证任意两个城市都有路径相通。在游戏中，Crash需要选择一个城市作为他的国家的首都，选择首都需要考虑很多指标，有一个指标是这样的：$S(i)=\sum _{j=1}^Ndist(i,j)^k$。其中S(i)表示第i 个城市的指标值，dist(i, j)表示第i个城市到第j个城市需要经过的道路条数的最小值，k为一个常数且为正整数。因此Crash交给你一个简单的任务：给出城市之间的道路，对于每个城市，输出这个城市的指标值，由于指标值可能会很大，所以你只需要输出这个数 mod 10007 的值。

输出共N行，每行一个正整数，第i行的正整数表示第i个城市的指标值 mod 10007 的值。

用结论来化简式子：$x^n=\sum _{i=1}^n S(n,i)\cdot F(x,i)$

$S(n,i)$为第二类斯特林数，$F(x,i)=\frac{x!}{(x-i)!}$

可得：$$\begin{align*} ans(i)&=\sum _{j=1}^ndist(i,j)^m\\ &=\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\cdot F(dist(i,j),k)\\ &=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\sum_{j=1}^{n} F(dist(i,j),k)\\ &=\sum_{k=1}^{m}S(m,k)\cdot k!\cdot \sum_{j=1}^{n} C(dist(i,j),k) \end{align*}$$

根据组合数递推公式：$C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)$ 就可以很方便的对后面的部分进行树形dp了。

具体地，令 $up(x,i)$ 为不在 $x$ 的子树中的部分的贡献，令 $dn(x,i)$ 为 $x$ 的子树的贡献。特别的，$dn(x,0)=1$。

详见代码。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #define LL long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=5e4+5;
 7 const int M=155;
 8 const int mod=1e4+7;
 9 int n,m,u,v,cnt,ans,tmp;
10 int first[N],fac[M],s[M][M];
11 int up[N][M],dn[N][M];
12 struct edge{int to,next;}e[N*2];
13 int read()
14 {
15     int x=0,f=1;char c=getchar();
16     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
17     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){x=x*10+c-‘0‘;c=getchar();}
18     return x*f;
19 }
20 void ins(int u,int v){e[++cnt]=(edge){v,first[u]};first[u]=cnt;}
21 void Mod(int& a,int b){a+=b;if(a>=mod)a-=mod;}
22 void dfs1(int x,int fa)
23 {
24     dn[x][0]=1;
25     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
26     {
27         int to=e[i].to;
28         if(to==fa)continue;
29         dfs1(to,x);
30         Mod(dn[x][0],dn[to][0]);
31         for(int j=1;j<=m;j++)
32             Mod(dn[x][j],(dn[to][j]+dn[to][j-1])%mod);
33     }
34 }
35 void dfs2(int x,int fa)
36 {
37     if(fa!=-1)
38     {
39         up[x][0]=n-dn[x][0];
40         for(int i=1;i<=m;i++)
41         {
42             Mod(up[x][i],(up[fa][i]+up[fa][i-1])%mod);
43             Mod(up[x][i],(dn[fa][i]+dn[fa][i-1])%mod);
44             Mod(up[x][i],(2*mod-dn[x][i]-dn[x][i-1])%mod);
45             Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-1])%mod);
46             if(i!=1)Mod(up[x][i],(mod-dn[x][i-2])%mod);
47         }
48     }
49     for(int i=first[x];i;i=e[i].next)
50         if(e[i].to!=fa)dfs2(e[i].to,x);
51 }
52 int main()
53 {
54     int L,now,A,B,Q;
55     n=read();m=read();L=read();
56     now=read();A=read();B=read();Q=read();
57     for(int i=1;i<n;i++)
58     {
59         now=(now*A+B)%Q;
60         tmp=i<L?i:L;
61         u=i-now%tmp;v=i+1;
62         ins(u,v);ins(v,u);
63     }
64 //    n=read();m=read();
65 //    for(int i=1;i<n;i++)
66 //    {
67 //        u=read();v=read();
68 //        ins(u,v);ins(v,u);
69 //    }
70     fac[0]=s[0][0]=1;
71     for(int i=1;i<=m;i++)
72     {
73         fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
74         for(int j=1;j<=i;j++)
75             s[i][j]=(s[i-1][j]*j+s[i-1][j-1])%mod;
76     }
77     dfs1(1,-1);dfs2(1,-1);
78     for(int i=1;i<=n;i++)
79     {
80         ans=0;
81         for(int j=1;j<=m;j++)
82             Mod(ans,s[m][j]*fac[j]%mod*(up[i][j]+dn[i][j])%mod);
83         printf("%d\n",ans);
84     }
85     return 0;
86 }

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