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一、 何为线性空间
1. 线性空间
定义：设V是一个非空集合，F为数域。如果对于任意两个元素α、β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作
γ=α+β
如果对于任意一个数λ∈F与任意一元素α∈V，总有一个唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作
δ=λα
如果上述两种运算满足以下八条运算规律，那么V就称为数域F上的线性空间
加法运算：
① 交换律：α+β = β+α
② 结合律： (α+β）+γ = α+（β+γ）
③ 零元素（唯一）：存在0∈V，对任意α∈V，使α+0=α
④ 负元素（唯一）：对任意α∈V，存在β∈V，使α+β=0
乘法运算：
⑤ 1α = α
⑥ (λμ)α = λ(μα)
⑦ (λ+μ)α = λα+μα
⑧ λ(α+β) = λα+λβ
2. 数域
定义：设F是数的集合，若其满足
① 0，1∈F
② 对F中的任意两个数a，b，总有a+b，a-b，a×b，a÷b(b≠0)∈F
则称F是一个数域，同时称F对加减乘除四种运算封闭
3. 线性空间的性质
① 零元素是唯一的；
② 负元素是唯一的；
③ 若λα = 0(λ∈F,α∈V)，则有k=0或λ=0
④ (-λ)α = λ(-α) = -(λα)
4. 小结
只有满足以下条件，才能构成线性空间
① 数集F是一个数域；
② 集合V满足加法和乘法运算的八条规律
二、由距离到希尔伯特空间
1. 什么是距离
实际上距离除了我们经常用到的直线距离外，还有向量距离
， 函数距离如
、 曲面距离、折线距离等等，这些具体的距离与距离之间的关系类似于苹果、香蕉等与水果的关系，前面是具体的事物，后面是抽
象的概念。距离就是一个抽象的概念，其定义为：
设X是任一非空集，对X中任意两点x,y，有一实数d(x,y)与之对应且满足：
1. d(x,y) ≥≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤≤d(x,z)+d(z,y)。
称d(x,y)为X中的一个距离（度量，称X为一个对于度量d而言的度量空间。
定义了距离后，我们再加上线性结构，如向量的加法、数乘，使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元；数乘的交换律、单位一；数乘与加法的结合律（两个）共八点要求，从而形成一个线性空间，这个线性空间就是向量空间。
在向量空间中，我们定义了范数的概念，表示某点到空间零点的距离：
1. ||x|| ≥≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤≤||x||+||y||。
将范数与距离比较，可知，范数比距离多了一个条件2，数乘的运算，表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。
距离+线性空间 = 线性度量空间
范式+线性空间 = （线性）赋范空间
线性赋范空间+内积运算 = 内积空间
线性赋范空间+完备性 = 巴拿赫空间
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等，有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间
内积空间+有限维 = 欧几里得空间
内积空间+完备性 = 希尔伯特空间
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