标签：spl 最大 ems cas 大于 cee getc 莫比乌斯反演 最大公约数
给出一段序列，求其中最大公约数为1的四元组的个数。
我们要用到反演、正难则反的思想。对于每一个大于1的数字\(x\)，求出最大公约数为\(x\)的四元组的个数\(g(x)\)，然后用排列中所有四元组的组合个数减去\(\sum g(x)\)即可。
直接求\(g(x)\)没有什么思路，但是求公约数中存在\(x\)的四元组的个数\(f(x)\)会比较容易。枚举约数中存在x的数列元素的个数\(n\)，则有
\[f(x)=C_n^4\]
那么怎么把\(f(x)\)变为\(g(x)\)呢？这要用到莫比乌斯反演。
\[ \mu(x)= \begin{cases} 1 &\text{若$x$=1}\0 &\text{若对$x$质因数分解得到的每个质数的次数中存在大于1的}\(-1)^k &\text{$k$为$x$的质因数个数} \end{cases} \]
若
\[f(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x}\rfloor}g(kx)\tag{1}\]
则
\[g(x)=\sum_{k=1}^{\lfloor \frac{N}{x}\rfloor}f(kx)\mu(k)\]
我们发现这道题若把序列中的数字最大值作为\(N\),\(f(x),g(x)\)恰好满足该关系(1)。于是我们跟着公式求\(g(x)\)即可。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
const int MAX_N = 10010, MAX_R = 5, MAX_PRIME_CNT = MAX_N;
ll C[MAX_N][MAX_R];
int Num[MAX_N], Mu[MAX_N];
ll F[MAX_N];
void GetMu(int *mu, int n)
{
static bool NotPrime[MAX_N];
static int prime[MAX_PRIME_CNT];
memset(NotPrime, false, sizeof(NotPrime));
int primeCnt = 0;
mu[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
if (!NotPrime[i])
{
prime[primeCnt++] = i;
mu[i] = -1;
}
for (int j = 0; j < primeCnt; j++)
{
if (i*prime[j] > n)
break;
NotPrime[i*prime[j]] = true;
if (i%prime[j] == 0)
{
mu[i*prime[j]] = 0;
break;
}
else
mu[i*prime[j]] = -mu[i];
}
}
}
void GetC(int r, int n)
{
memset(C, 0, sizeof(C));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
C[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= min(i, r); j++)
{
if (i == j)
C[i][j] = 1;
else
C[i][j] = C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j];
}
}
}
ll Proceed(int maxN, int n)
{
memset(F, 0, sizeof(F));
for (int i = 2; i <= maxN; i++)
{
int cnt = 0;
for (int j = 1; j <= maxN / i; j++)
cnt += Num[i * j];
F[i] = C[cnt][4];
}
ll ans = 0;
for (int i = 2; i <= maxN; i++)
for (int j = 1; j <= maxN / i; j++)
ans += F[i * j] * Mu[j];
return C[n][4] - ans;
}
int main()
{
GetMu(Mu, 10000);
GetC(4, 10000);
int n, maxN = 0, x;
while (~scanf("%d", &n))
{
memset(Num, 0, sizeof(Num));
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
scanf("%d", &x);
Num[x]++;
maxN = max(maxN, x);
}
printf("%lld\n", Proceed(maxN, n));
}
return 0;
}标签：spl 最大 ems cas 大于 cee getc 莫比乌斯反演 最大公约数
原文地址：https://www.cnblogs.com/headboy2002/p/8965559.html
