标签：矩形 程序 关于 期望 处理 数据结构 problem 休息 时间
一脸懵逼地就被直接拉过来浙江省选了，一年参加两次省选成就达成……
讲课啥的都没听，过去休息了一天就进行比赛了。考试之前感冒没好透，精神不是 \(100\%\) 的状态，但是并无大碍（反正最后都很凉）。
这次是 8:00 到 13:00 的标准 OI 比赛时间，五个小时三道题。
首先拿到第一题，树的计数，这种复杂计数的问题对于我而言向来都是打暴力，不知为何我想了一会才往下看题……
看到第二题，是统计一个最短路算法的类似复杂度的东西（但不是复杂度，准确来说是每次更新节点的个数之和），看完题目就瞬间有了一些 idea，所以预感这题可能 AC。
然后去看第三题，一个计算几何，而且不是无脑模拟或用数据结构优化、乱搞的那种，完全不会做。（考后才知道这个是一个反演，我从来没有接触过的东西。它的变换所有点就是关于某个点朝靠近或远离的方向移动，移动后和移动前和这个点的距离互为倒数；然后那个中心点等概率出现在一个矩形区域内部，问你变换一次后的凸包点数期望）然而发现有一个测试点 \(n \le 3\)，后面又保证了所有测试点有 \(n \ge 3\)，这答案不就是 \(3\) 吗，直接输出拿 \(10\) 分走人。
回过去看 T2，顺着刚才闪现的灵感想了下去（在想之前我先打了一个暴力并过掉了小样例和大样例）……它求的是点权变化次数总和，那么我们可以换一种统计方式，变成统计每个点变化过多少次不就行了吗？想了想发现这样就变成水题了，因为我想的是找到每个点它最终是从左边哪个点更新过来的、从右边哪个点更新过来的，然后左右这两个点之间的点的个数就是答案……手算了一下样例发现过不了，所以感觉自己是漏掉了一些“细节”——原来我没有考虑距离问题，也就是说假设我研究的点是点 \(u\)，它最终从 \(v\) 更新过来的，那么 \(u\) 和 \(v\) 之间的边的数量需要向另一个方向倍长，然后得到的这个区间内的点数才是答案……然后自以为这个肯定是正确结论了，于是想了半天如何处理这个问题，由于我研究的点是一段一段的，不能暴力研究每个点（否则复杂度退化成每次询问都要 \(O(n)\)），以为用主席树啥的暴力搞；后来不知什么时候突然发现这个结论的严重 bug，其实应该是左边、右边单调栈各一段，按照和点 \(u\) 的距离合并的单调栈大小（就是说这个区间内不一定所有点都会更新到 \(u\)，只有往两边不断变小才会更新）；那我想单调栈合并不可能快速进行啊，感觉非常不对劲，于是打算推翻之前的想法，换另一个思路。
其实统计变化次数不一定要统计每个城市变化次数，可以统计每个给出的关键点的影响范围大小，这个影响范围大小的总和也是答案。然后一眼看出这个“影响范围”就是一个区间，所以我们需要二分来确定两个端点的位置。我想一个关键点是有可能“吃掉”另一个关键点的，\(a\) 吃掉 \(b\) 意味着最终最短路不会从 \(b\) 出发，那么这时 \(a\) 的影响范围完全包含 \(b\)。（以下只讲求右端点）所以我就先二分这个 \(a\) 会吃掉哪些关键点，然后影响范围一定在最远的被吃掉的关键点的右边，那么这个时候再二分一下不就行了吗？我于是立刻敲起了代码，调了一会过掉了小样例，接下来就去测大样例，发现似乎只有第一个询问对了；我重新想了一下这个思路，感觉没啥漏洞，没办法只好和暴力用小一点的数据对拍。
没想到随便生成一组数据就拍出错了，于是我就看这个数据，发现了我刚才思路的漏洞：限制我影响区间不能往后扩的的不只有第一个没被吃掉的关键点，后面的关键点可能会有更强的限制……于是我就想，最强的限制不就是 \(v_i + S_{i-1}\)（\(v_i\) 就是关键点的初始值，\(S_i\) 是 \(w_i\) 的前缀和）最小的关键点吗？直接用它限制就好了。改了一下代码，再拍，还有错，但错误明显变少了。接着找问题，这个想法还是有漏洞：注意到假设关键点 \(b\) 限制了关键点 \(a\)，那么我是要二分到那个从 \(a\) 更新比从 \(b\) 更新更小的最靠右的点 \(x\)，这个 \(x\) 就是 \(b\) 对 \(a\) 的限制，但如果这个 \(x\) 在 \(a\) 和 \(b\) 的中点（这个中点是假设边权都为 \(1\) 的中点，就是只数边的条数）左边，这个 \(b\) 对 \(a\) 就没有任何限制了（或者应该说限制不是 \(x\) 而是 \(a\) 和 \(b\) 的中点），所以我们要排除掉这些没有限制的点。于是我想我需要处理每个点右边离它最近的且权值 \(v_j - S_{j-1}\) 比他小的点，这样维护一棵树，那么我们就可以在某个点到根的链上进行二分了（为什么可以二分呢？那是因为随着往根上走，中点会越来越靠右，限制点会越来越靠左，所以是单调的，我们可以二分到“限制有效”的那个点），于是搞个树上倍增就可以 \(O(\log^2 n)\) 解决了。
想到这里，发现已经 9:15 了，T1 暴力还没打呢，这个正解代码也不知道写不写得完了——又是一个艰难的选择。这里我选择了求稳，我去打了 T1 的暴力（原因是 T1 暴力看上去非常好写；而且当时我想 T2 时间太久我不确定我是否还足够理智，不确定最终的那个想法是否还有漏洞，如果有，那我正常比赛就完全挂掉了，连暴力分都没拿满，不值得用整场比赛赌一个不知道是否正确的正解），打完暴力只剩 \(10\) 分钟了，我把 T2 那个写了一半的“正解”和暴力拼了起来，过掉了小样例、大样例，然后查一下三道题的目录、文件读写等等就结束了。
考后发现 T2 正解非常简单，根本不需要先二分“吃掉”哪些关键点，直接二分求区间端点就好了，程序实现、思路上都会简洁许多。最后在 loj 上过掉了。考场上最后想出的做法没有实际验证，但是从思路上看没有漏洞了。
总结一下，这次比赛思路上走的弯路非常多，T2 我想错了至少 \(4\) 次，每次都还觉得挺对，没有及时意识到错误直接开始考虑程序怎么写，导致过量时间的浪费，造成一个小小的遗憾（如果 A 掉 T2 应该就全场 rank 1 了）……并且想错是一件很可怕的事情，最后我的那个正解想先二分被“吃掉”的关键点受的就是之前“考虑求每个点被改多少次”的思路的影响，拐了很多弯，没有找到最直接、最有效、最简洁、最优美的做法；其实我觉得即便考场上我调出来了 T2，用的如果是那个复杂的做法的话也是值得反思的。这次我想到了正解，说明水平也没那么差劲，但这次想到的正解也反应出来我的思维水平还没有达到一定的高度，我在想错之后没能够完全跳出错误的圈子，而是多少仍然受着影响……想错可能无法避免，所以我们在努力尝试想对的同时似乎也应该准备一下想错后的“应急方案”。
这场比赛也有不错的几点：
标签：矩形 程序 关于 期望 处理 数据结构 problem 休息 时间
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