标签：算法
这个是在工作中遇到的一个实际的算法问题，问题描述如下，当前有m个司机，n个乘客，每个司机和每个乘客的距离由经纬度可以计算得到，如何匹配可以使其去接乘客的距离和最小？（只能一个司机接一个乘客）带权二分图方法
一般对KM算法的描述，基本上可以概括成以下几个步骤：
（1） 初始化可行标杆
（2） 用匈牙利算法寻找完备匹配
（3） 若未找到完备匹配则修改可行标杆
（4） 重复（2）（3）直到找到相等子图的完备匹配
关于该算法的流程及实施，网上有很多介绍，基本上都是围绕可行标杆如何修改而进行的讨论，至于原理并没有给出深入的探讨。
KM算法是用于寻找带权二分图最佳匹配的算法。
二分图是这样一种图：所有顶点可以分成两个集：X和Y，其中X和Y中的任意两个在同一个集中的点都不相连，而来自X集的顶点与来自Y集的顶点有连线。当这些连线被赋于一定的权重时，这样的二分图便是带权二分图。
二分图匹配是指求出一组边，其中的顶点分别在两个集合中，且任意两条边都没有相同的顶点，这组边叫做二分图的匹配，而所能得到的最大的边的个数，叫做二分图的最大匹配。
我们也可以换个角度看二分图的最大匹配，即二分图的每条边的默认权重为1，我们求到的二分图的最大匹配的权重最大。对于带权二分图，其边有大于0的权重，找到一组匹配，使其权重最大，即为带权二分图的最佳匹配。
匈牙利算法一般用于寻找二分图的最大匹配。算法根据一定的规则选择二分图的边加入匹配子图中，其基本模式为：
初始化匹配子图为空
While 找得到增广路径
Do 把增广路径添加到匹配子图中
增广路径有如下特性：
例如下图，蓝色的是当前的匹配子图，目前只有边x0y0，然后通过x1找到了增广路径：x1y0->y0x0->x0y2
其中第奇数第边x1y0和x0y2不在当前的匹配子图中，而第偶数条边x0y0在匹配子图中，通过添加x1y0和x0y2到匹配子图并删除x0y0，使得匹配数由1增加到了2。每找到一条增广路径，通过添加删除边，我们总是能使匹配数加1.
增广路径有两种寻径方法，一个是深搜，一个是宽搜。例如从x2出发寻找增广路径，如果是深搜，x2找到y0匹配，但发现y0已经被x1匹配了，于是就深入到x1，去为x1找新的匹配节点，结果发现x1没有其他的匹配节点，于是匹配失败，x2接着找y1，发现y1可以匹配，于是就找到了新的增广路径。如果是宽搜，x1找到y0节点的时候，由于不能马上得到一个合法的匹配，于是将它做为候选项放入队列中，并接着找y1，由于y1已经匹配，于是匹配成功返回了。相对来说，深搜要容易理解些，其栈可以由递归过程来维护，而宽搜则需要自己维护一个队列，并对一路过来的路线自己做标记，实现起来比较麻烦。
对于带权重的二分图来说，我们可以把它看成一个所有X集合的顶点到所有Y集合的顶点均有边的二分图（把原来没有的边添加入二分图，权重为0即可），也就是说它必定存在完备匹配（即其匹配数为min(|X|,|Y|)）。为了使权重达到最大，我们实际上是通过贪心算法来选边，形成一个新的二分图（我们下面叫它二分子图好了），并在该二分图的基础上寻找最大匹配，当该最大匹配为完备匹配时，我们可以确定该匹配为最佳匹配。（在这里我们如此定义最大匹配：匹配边数最多的匹配和最佳匹配：匹配边的权重和最大的匹配。）
贪心算法总是将最优的边优先加入二分子图，该最优的边将对当前的匹配子图带来最大的贡献，贡献的衡量是通过标杆来实现的。下面我们将通过一个实例来解释这个过程。
有带权二分图：
算法把权重转换成标杆，X集跟Y集的每个顶点各有一个标杆值，初始情况下权重全部放在X集上。由于每个顶点都将至少会有一个匹配点，贪心算法必然优先选择该顶点上权重最大的边（最理想的情况下，这些边正好没有交点，于是我们自然得到了最佳匹配）。最初的二分子图为：（可以看到初始化时X标杆为该顶点上的最大权重，而Y标杆为0）
从X0找增广路径，找到X0Y4；从X1找不到增广路径，也就是说，必须往二分子图里边添加新的边，使得X1能找到它的匹配，同时使权重总和添加最大。由于X1通往Y4而Y4已经被X0匹配，所以有两种可能，一个是为X0找一个新的匹配点并把Y4让给X1，或者是为X1找一个新的匹配点，现在我们将要看到标杆的作用了。根据传统的算法描述，能够进入二分子图的边的条件为L(x)+L(y)>=weight(xy)。当找不到增广路径时，对于搜索过的路径上的XY点，设该路径上的X顶点集为S，Y顶点集为T，对所有在S中的点xi及不在T中的点yj，计算d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}，从S集中的X标杆中减去d，并将其加入到T集中的Y的标杆中，由于S集中的X标杆减少了，而不在T中的Y标杆不变，相当于这两个集合中的L(x)+L(y)变小了，也就是，有新的边可以加入二分子图了。从贪心选边的角度看，我们可以为X0选择新的边而抛弃原先的二分子图中的匹配边，也可以为X1选择新的边而抛弃原先的二分子图中的匹配边，因为我们不能同时选择X0Y4和X1Y4，因为这是一个不合法匹配，这个时候，d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}的意义就在于，我们选择一条新的边，这条边将被加入匹配子图中使得匹配合法，选择这条边形成的匹配子图，将比原先的匹配子图加上这条非法边组成的非法匹配子图的权重和（如果它是合法的，它将是最大的）小最少，即权重最大了。好绕口的。用数学的方式表达，设原先的不合法匹配（它的权重最大，因为我们总是从权重最大的边找起的）的权重为W，新的合法匹配为W’，d为min{W-W’i}。在这个例子中，S={X0, X1}，Y={Y4}，求出最小值d=L(X1)+L(Y0)-weight(X1Y0)=2，得到新的二分子图：
重新为X1寻找增广路径，找到X1Y0，可以看到新的匹配子图的权重为9+6=15，比原先的不合法的匹配的权重9+8=17正好少d=2。
接下来从X2出发找不到增广路径，其走过的路径如蓝色的路线所示。形成的非法匹配子图：X0Y4，X1Y0及X2Y0的权重和为22。在这条路径上，只要为S={X0，X1，X2}中的任意一个顶点找到新的匹配，就可以解决这个问题，于是又开始求d。
d=L(X0)+L(Y2)-weight(X0Y2)=L(X2)+L(Y1)-weight(X2Y1)=1.
新的二分子图为：
重新为X2寻找增广路径，如果我们使用的是深搜，会得到路径：X2Y0->Y0X1->X1Y4->Y4X0->X0Y2，即奇数条边而删除偶数条边，新的匹配子图中由这几个顶点得到的新的权重为21；如果使用的是宽搜，会得到路径X2Y1，另上原先的两条匹配边，权重为21。假设我们使用的是宽搜，得到的新的匹配子图为：
接下来依次类推，直到为X4找到一个匹配点。
KM算法的最大特点在于利用标杆和权重来生成一个二分子图，在该二分子图上面找最大匹配，而且，当些仅当找到完备匹配，才能得到最佳匹配。标杆和权重的作用在于限制新边的加入，使得加入的新边总是能为子图添加匹配数，同时又令权重和得到最大的提高。
#include <cstdio>
#include <string.h>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int const MAX = 1000;
int const inf = 0x3fffffff;
int w[MAX][MAX];
int link[MAX];//代表当前与Y集合中配对的X集合中的点
int visx[MAX], visy[MAX];
int lx[MAX], ly[MAX];
int n, m;//代表X和Y中元素的个数
int can(int t)
{
visx[t] = 1;
for(int i = 1; i <= m; i++){
if(!visy[i] && lx[t] + ly[i] == w[t][i]){//这里“lx[t]+ly[i]==w[t][i]”决定了这是在相等子图中找增广路的前提，非常重要
visy[i] = 1;
if(link[i] == -1 || can(link[i])){
link[i] = t;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int km()
{
int sum = 0;
memset(ly, 0, sizeof(ly));
for(int i = 1; i <= n; i++){//把各个lx的值都设为当前w[i][j]的最大值
lx[i] = -inf;
for(int j = 1; j <= n; j++){
if(lx[i] < w[i][j])
lx[i] = w[i][j];
}
}
memset(link, -1, sizeof(link));
for(int i = 1; i <= n; i++){
while(1){
memset(visx, 0, sizeof(visx));
memset(visy, 0, sizeof(visy));
if(can(i))//如果它能够形成一条增广路径，那么就break
break;
int d = inf;//否则，后面应该加入新的边,这里应该先计算d值
for(int j = 1; j <= n; j++)//对于搜索过的路径上的XY点，设该路径上的X顶点集为S，Y顶点集为T，对所有在S中的点xi及不在T中的点yj
if(visx[j])
for(int k = 1; k <= m; k++)
if(!visy[k])
d = min(d, lx[j] + ly[k] - w[j][k]);
if(d == inf)
return -1;//找不到可以加入的边，返回失败（即找不到完美匹配）
for (int j = 1; j <= n; j++)
if (visx[j])
lx[j] -= d;
for(int j = 1; j <= m; j++)
if(visy[j])
ly[j] += d;
}
}
for(int i = 1; i <= m; i++)
if(link[i] > -1)
sum += w[link[i]][i];
return sum;
} 这个地方注意 我们是求最小值 只需要把上面的换个符号即可 上面的算法是求最大值
标签：算法
原文地址：http://blog.51cto.com/yixianwei/2111980
