Day3 《机器学习》第三章学习笔记

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　　这一章也是本书基本理论的一章，我对这章后面有些公式看的比较模糊，这一会章涉及线性代数和概率论基础知识，讲了几种经典的线性模型，回归，分类（二分类和多分类）任务。

3.1 基本形式

       给定由d个属性描述的示例 x =（x₁；x₂；… ；x_d）,其中x_i是x在第i个属性上的取值，线性模型（linear model）试图学得一个通过属性的线性组合来进行预测的函数，即：

f(x) = w₁x₁ + w₂x₂ + … + w_dx_d + b

一般用向量形式写成：

f(x) = w^Tx + b

其中x =（x₁；x₂；… ；x_d），w和d学得之后，模型就得以确定。

       线性模型，形式简单、易于建模，蕴含着机器学习中一些重要的基本思想，许多功能更为强大的非线性模型（nonlinear model）可在线性模型的基础上通过引入层级结构或高维映射而得，此外，由于w直观表达了各属性在预测中的重要性，因此线性模型有很好的可解释性（comprehensibility）。例如在西瓜问题中学得“f_好瓜(x) = 0.2*x_色泽 + 0.5*x_根蒂 + 0.3*x_敲声 + 1”。

3.2 线性回归

       给定数据集 D = {(x₁, y₁), (x₂, y₂), … , (x_m, y_m)}，其中x_i = (x_i1；x_i2；… ；x_id)，y_i ∈ R。“线性回归（linear regression）”试图学得一个线性模型尽可能地预测实值输出标记。

线性回归试图学得

我们要去确定w和b，在2.3节介绍过，均方误差（2.2）是回归任务中最常用的性能度量，因此我们可试图让均方误差最小化，即：

w^*, b^* 表示w和b的解。

       均方误差，有非常好的几何意义，对应了常用的欧几里得距离或简称“欧氏距离（Euclidean method）”，在线性回归中，最小二乘法就是试图找到一条直线，使所有样本到直线上的欧式距离之和最小。

       求解w和b使最小化的过程，叫做线性回归模型的最小二乘“参数估计（parameter estimate）”，然后E_{（w,  b）}分别对w和b求导，得到：

然后令上面两个式子为零，求得w和b最优解的闭式（closed-form）解：  

其中 为x的均值。

       更一般的，数据集D，样本由d个属性描述，此时我们试图学得：

这称为“多元线性回归（multivariate linear regression）”（这部分涉及公式教繁，线性代数知识具体推导书上）

       我们希望线性模型的预测值逼近真实标记y时，就得到了线性回归模型，为便于观察，写作：

我们要让输出标记y在指数尺度上变化，可做变化：

这就是“对数线性回归（log-linear regression）”，它实际上是在试图让逼近y，下图很明了：

更一般的，考虑单调可微函数g(*)，令：

这样得到的模型称为“广义线性模型（generalized linear model）”，其中函数g(*)，称为“联系函数（link function）”。显然，对数线性回归是广义线性模型在g(*) = ln(*)时的特例。

3.3 对数线性回归

       考虑二分类任务，其输出标记y∈{0, 1}，而线性回归模型产生的预测值 是实值，于是，我们需将实值转换为0/1值，最理想是“单位阶跃函数（unit-step function）”

即若预测值z大于零就判为正例，小于零就判为反例，预测值为临界值零则可任意判别，如下图：

对数几率函数（logistic function）是这样一个常用的替代函数：

将对数几率函数作为g^-(*)带入，得：

整理一下：

若将y视为样本x作为正例的可能性，则1-y是其反例可能性，两者比值：

称为“几率（odds）”，反映了样本x作为正例的相对可能性，然后对几率取对数得“对数几率（log odds，也称logit）”：

由此看出，实际上面在用线性回归模型的预测结果去逼近真实标记的对数几率，因此，其对应的模型称为“对数几率回归（logistic regression，也称logit regression）”。要注意的是，虽然它的名字是“回归”，但实际上确实一种分类学习方法。

3.4 线性判别分析

       线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，简称LDA）是一种经典的线性学习方法，在二分类问题上最早由[Fisher, 1936]提出，所以也叫做“Fisher判别分析”。

       LDA的思想非常朴素：给定训练样例集，设法将样例投影到一条直线上，使得同类样例的投影点尽可能接近、异类样例的投影点尽可能远离，下面这个图就一目了然：

后续推导过程在书上。

3.5 多分类学习

       现实中常见遇到多分类任务。有些二分类学习方法可直接推广到多分类。但多数情况下，要基于一些基本策略，利用二分类学习器来解决多分类问题。

       不失一般性，考虑N个类别C₁, C₂, … , C_N，多分类学习的基本思路是“拆解法”，即将多分类任务拆分为若干个二分类任务求解。最经典的拆分策略有三种：“一对一（One vs. One，简称OvO）”、“一对余（One vs. Rest，简称OvR）”和“多对多（Many vs. Many，简称MvM）”。

3.6 类别不平衡问题

（阅读后续章节，待续）

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