标签：style a* ide for cas == 部分 imp 中国
Lucas：
公式：
C(n,m)%mod=C(n%mod,m%mod)*C(n/mod,m/mod)
需要保证mod为质数
证明省..
解决：
前面部分可以根据
直接求出
后面部分就继续递归
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int N=1e5; long long n,m,mod,fac[N]; void init() { int i; fac[0] =1; for(i =1; i <= mod; i++) fac[i] = fac[i-1]*i % mod; } long long q_pow(long long a, long long b) { long long ans =1; while(b) { if(b &1) ans=ans*a%mod; b>>=1; a=a*a%mod; } return ans; } long long C(long long n, long long m) { if(m > n) return 0; return fac[n]*q_pow(fac[m]*fac[n-m],mod-2) % mod; } long long Lucas(long long n, long long m ) { if(m==0) return 1; return(C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod m/mod))%mod; } int main() { freopen("a.in","r",stdin); int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &mod); init(); printf("%lld\n",Lucas(n, m)); } return 0; }
EX Lucas
解决mod不为质数的情况
我们先要求C(n,m)%mod
看到这个形式 我们可以考虑用中国剩余定理来求解
但是CRT也需要mod两两互质
怎么办？
我们把mod拆开modi=
ai为质数，表示多个幂相乘
这样modi的两两互质 可以用CRT了
现在就可以 求出C(n,m)%modi 然后CRT合并
但是现在modi 虽然ai是质数 但
却不是质数
依然不能用Lucas求解(Lucas需要保证mod质数）
现在考虑C(n,m)%modi(modi不为质数) 怎么求？
我们把C(n,m)变成
如果我们能求出a=n!%modi,b=m!%modi,c=(n-m)%modi
那么最后答案就是a*inv(b)*inv(c)%modi
举个例子:
n=19,a=3,i=2
我们求n!%modi
(1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15*16*17*18*19)%modi
我们把它分成三部分
1. (1*2*4*5*7*8)*(10*11*13*14*16*17)
2. (3*6*9*12*15*18)=(3^6)*(1*2*3*4*5*6)
3. 19
我们可以发现一些规律
1 是一个以
为周期的循环节 在%modi后的值是相同的
解决方法：找出循环值和次数(n/3^6） 快速幂求解
2 可以把(3^6)拿出来 可以代入
上下抵消 剩下的部分是(n/a)! 变成同样的问题 可以继续递归解决
3 这是没有完成的一周期 我们暴力求得即可
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; long long read() { long long x=0,f=1; char ch=getchar(); while(ch<‘0‘||ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-1;ch=getchar();} while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘) {x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();} return x*f; } long long mod,n,m,w; long long qpow(long long a,long long b,long long p) { long long ans=1LL; while(a>0) { if(a&1) ans=(ans*b)%p; b=(b*b)%p; a>>=1; } return ans; } void exgcd(long long a,long long b,long long &x,long long &y) { if(b==0) {x=1;y=0;return ;} exgcd(b,a%b,x,y); long long temp=x; x=y; y=temp-a/b*y; } long long inv(long long a,long long p) { long long x,y; exgcd(a,p,x,y); x=(x%p+p)%p; if(!x) x=p; return x; } long long Mul(long long n,long long pi,long long pk) { if(!n) return 1LL; long long ans=1LL; if(n/pk) { for(long long i=2;i<=pk;i++) if(i%pi) ans=(ans*i)%pk; ans=qpow(n/pk,ans,pk); } for(long long i=2;i<=n%pk;i++) if(i%pi) ans=(ans*i)%pk; return (ans*Mul(n/pi,pi,pk))%pk; } long long C(long long n,long long m,long long pi,long long pk) { if(n<m) return 0; long long a=Mul(n,pi,pk),b=Mul(m,pi,pk),c=Mul(n-m,pi,pk); long long k=0; for(long long i=n;i;i/=pi) k+=i/pi; for(long long i=m;i;i/=pi) k-=i/pi; for(long long i=n-m;i;i/=pi) k-=i/pi; long long ans=((a*inv(b,pk)%pk*inv(c,pk)%pk)%pk*qpow(k,pi,pk))%pk; return ans*(mod/pk)%mod*inv(mod/pk,pk)%mod; } long long Lucas(long long n,long long m) { long long ans=0; long long x=mod; for(long long i=2;i<=x;i++) { long long pk=1; if(x%i==0) { while(x%i==0) pk*=i,x/=i; ans=(ans+C(n,m,i,pk))%mod; } } return ans; } int main() { freopen("a.in","r",stdin); mod=read();n=read();m=read(); long long ans=1; for(int i=1;i<=m;i++) { w=read(); if(n<w) {printf("Impossible\n");return 0;} ans=(ans*Lucas(n,w))%mod; n-=w; } printf("%lld\n",ans); return 0; }
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原文地址：https://www.cnblogs.com/Heey/p/8999530.html
