mod:a mod p就是a除以p的余数

费马小定理：a^(p-1)≡1(mod p)

前提：p为质数，且a，p互质

互质：a和p相同的因数为1.

先来看一下≡是什么：

a≡b(mod p) <=> a mod p=b mod p

注释：<=> 两边相等

在证明之前，先给出引理：

(1)如果p,c互质,并且a*c≡b*c(mod p)

证明过程：

∵a*c mod p = b*c mod p

∴(a*c - b*c) mod p = 0

∴(a-b)*c mod p=0;

∴(a-b)*c 是p的倍数

∵p,c互质

∴k*p*c mod p = 0

∴(a-b)=k*p//这里建议你用笔推一下

∴(a-b)%p=0

(2) 若a1,a2,a3,a4,am为mod m的完全剩余系，m,b互质，那么

b*a1,b*a2,b*a3,b*a4......b*am也是mod m的完全剩余系。

完全剩余系：从模n的每个剩余类中各取一个数，得到一个由n个数组成的集合，叫做模n的一个完全剩余系。

证明过程：

利用反证法：

假设存在一个b*ai≡b*aj(mod p),由引理(1)可证ai≡aj(mod p)

所以这个假设不成立。所以引理(2)成立。

 

开始费马小定理的证明：

0,1,2,3,4...p-1是p的完全剩余系

∵a,p互质

∴a,2*a,3*a,4*a.......(p-1)*a也是mod p的完全剩余系

∴1*2*3.........*(p-1)*a≡a*2*a*3*a......(p-1)*a  (mod p)

∴ (p-1)! ≡ (p-1)!*a^(p-1) (mod p)

两边同时约去(p-1)!

a^(p-1)≡1(mod p)