欧拉函数 + 线性求法

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欧拉函数：

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）。此函数以其首名研究者欧拉命名(Euler‘so totient function)，它又称为Euler‘s totient function、φ函数、欧拉商数等。 例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

求法：

①基本公式：φ(n)=n×Π(p|n且p为质数)(1-1/p)

证明： 对于因子p，n以内所有p的倍数的数有n/p个。

利用容斥，有因子p1,p2时，n以内互质的数的个数是：n-n/p1-n/p2+n/(p1×p2)=n(1-1/p1-1/p2+1/(p1×p2)=n(1-1/p1)(1-1/p2)

以此类推可以推出公式。 利用质因数分解可以n^1/2求出来

②性质：

1.若a为质数,φ[a]=a-1;

证明显然

2.若a为质数,a mod b=0,φ[a×b]=φ[b]×a

证明： 因为所有a的因子都是b的因子，所以在φ[b]基础上乘a即可。（考虑公式）

3.若a,b互质,φ[a×b]=φ[a]×φ[b] (当a为质数时,if b mod !=0 ,φ[a×b]=φ[a]×φ[b])

证明：a的质因子和b的质因子没有相同的，而ab的质因子必然在a、b中出现过，所以直接相乘就可以，（考虑公式）

线性求euler

int m[n],phi[n],p[n],nump;
//m[i]标记i是否为素数,0为素数,1不为素数;p是存放素数的数组;nump是当前素数个数;phi[i]为欧拉函数
int make()
{
        phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    {
        if (!m[i])//i为素数
        {
            p[++nump]=i;//将i加入素数数组p中
            phi[i]=i-1;//因为i是素数,由特性得知    
        }    
        for (int j=1;j<=nump&&p[j]*i<n;j++)  //用当前已的到的素数数组p筛,筛去p[j]*i
        {
            m[p[j]*i]=1;//可以确定i*p[j]不是素数 
            if (i%p[j]==0) //看p[j]是否是i的约数,因为素数p[j],等于判断i和p[j]是否互质 
            {
                phi[p[j]*i]=phi[i]*p[j]; //性质2
                break;
            }
            else phi[p[j]*i]=phi[i]*(p[j]-1); //互质,性质3，其中p[j]-1就是phi[p[j]]   
        }
    }
}

欧拉函数 + 线性求法

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原文地址：https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9031706.html