hihoCoder#1743:K-偏差排列（矩阵快速幂+状压dp）

标签：set   斐波那契数   bit   ref   void   typedef   不同   int   不同的   

• 题意:

  如果一个 \(1\to N\) 的排列 \(P=[P_1, P_2, ... P_N]\) 中的任意元素 \(P_i\) 都满足 \(|P_i-i| ≤ K\) ，我们就称 \(P\) 是 \(K\)-偏差排列。
  给定 \(N\) 和 \(K\) ，请你计算一共有少个不同的排列是 \(K\)-偏差排列。
  例如对于 \(N=3\) ，有 \(3\) 个 \(1\)-偏差排列：\([1, 2, 3], [1, 3, 2], [2, 1, 3]\)。
  由于答案可能非常大，你只需要输出答案模 \(1000000007\) 的余数。
  对于 \(70\%\) 的数据，\(1 ≤ N ≤ 1000\)
  对于 \(100\%\) 的数据，\(1 ≤ N ≤ 1000000000, 1 ≤ K ≤ 3\)

• 题解:

  一道好题~
  这是它的最初版本 #1732 : 1-偏差排列 ．
  那个找规律就是 斐波那契数列 了, dp 的话也是一样的结果 .

  对于这个题我们可以沿用那题思路, 考虑一个位置 \(i\) 能放哪些数, 根据定义能放 \([i-k, i+k]\) 中共 \(2k+1\) 个数.
  考虑状压到 \(i\) 这个点, 这些数中的哪些被放了, 每次转移的时候考虑放入一个数, 这个数之前不能出现, 这样就是合法转移了.
  最后到 \(n\) 的时候, 不能放比 \(n\) 大的数, 且小于等于 \(n\) 的数都要放进去, 只会有那个位置存在正确答案, 这个状态 \(sta=2 ^ {k + 1} - 1\) (也就是意味着 \([n - k, n]\)都得选) .
  当 \(n < k\) 的时候要特判掉一些诡异的特殊情况 .

  然后这样直接写就有 \(70pts\) 了.
  有一些不合法状态不能转移, 也就是要放的数不存在于 \([1, n]\) 之间.

  这样的话, 就是矩阵快速幂套路优化了, 考虑对这个转移系数建立矩阵, 然后它的 \(n\) 次幂中的 \((sta,sta)\) 这个位置就会存在最后的答案咯...

• 代码:

  70pts:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
  using namespace std;
  
  typedef long long ll;
  
  const ll Mod = 1e9 + 7;
  
  int n, k, all;
  ll ans = 0, dp[2][1500] = {0};
  
  int main () {
      cin >> n >> k;
      if (n <= 2) return printf ("%d\n", n), 0;
  
      all = (1 << (2 * k + 1)) - 1;
  
      dp[0][0] = 1;
  
      int cur = 0;
      For (i, 1, n) {
          For (j, 0, all) if(dp[cur][j]) {
              int sta = (j >> 1);
  
              For (s, 0, 2 * k) if (!(sta & (1 << s))) {
                  int tmp = i - k + s;
                  if (tmp < 1 || tmp > n) continue ;
  
                  (dp[cur ^ 1][sta | (1 << s)] += dp[cur][j]) %= Mod;
              }
  
              dp[cur][j] = 0;
          }
          cur ^= 1;
      }
  
      int Sta = (1 << (k + 1)) - 1;
  
      printf ("%lld\n", dp[cur][Sta]);
      return 0;
  }

  100pts:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
  #define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
  using namespace std;
  
  void File() {
  #ifdef zjp_shadow
      freopen ("P1743.in", "r", stdin);
      freopen ("P1743.out", "w", stdout);
  #endif
  }
  
  const int Mod = 1e9 + 7, Maxn = 130;
  
  int n, k, all;
  
  struct Matrix {
      int a[Maxn][Maxn]; Matrix() { Set(a, 0); }
      void Unit() { For (i, 0, all) a[i][i] = 1; }
  };
  
  inline Matrix operator * (Matrix a, Matrix b) {
      Matrix res;
      For (i, 0, all) For (k, 0, all) if (a.a[i][k])
          For (j, 0, all) (res.a[i][j] += 1ll * a.a[i][k] * b.a[k][j] % Mod) %= Mod;
      return res;
  }
  
  inline Matrix fpm(Matrix x, int power) {
      Matrix res; res.Unit();
      for (; power; power >>= 1, x = x * x)
          if (power & 1) res = res * x;
      return res;
  }
  
  Matrix Bas, Ans;
  
  int ans = 0;
  
  int main () {
      File();
  
      cin >> n >> k;
  
      if (n <= 2) return printf ("%d\n", n), 0;
  
      all = (1 << (2 * k + 1)) - 1;
  
      For (i, 0, all) {
          int j = (i >> 1);
          For (s, 0, 2 * k) if (!(j & (1 << s))) 
              ++ Bas.a[i][j | (1 << s)];
      }
      Ans = fpm(Bas, n);
  
      int Sta = (1 << (k + 1)) - 1;
  
      printf ("%d\n", Ans.a[Sta][Sta]);
  
      return 0;
  }

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