【资料】【哈代/拉马努金】悼文

时间：2018-05-20 21:23:50 阅读：410 评论：0 收藏：0 [点我收藏+]

斯里尼瓦萨·拉马努金，1917年进入英国皇家学会，1920年4月26日，逝世于贡伯戈纳姆。他不是个爱谈自己的人，直到最近，我对他的早年生涯都所知甚少。R. 拉马钱德拉·拉奥和P·V·塞舒·耶尔，两位拉马努金最热心的印度友人，近期在印度数学协会月刊上发表了两篇讣告，弗朗西斯·斯普林爵士，在我的安排下，非常友好地写了一篇文章，发表在1919年4月5日的马德拉斯时报上。由这些信息来源，我掌握了大量先前一无所知的细节。

拉马努金 (斯里尼瓦萨·耶恩伽尔·拉马努金·耶恩伽尔,有一次登记他的正式名字时，是这么写的)1887年12月22日，生于南印度的埃罗德。他的父亲在贡伯戈纳姆，给一个卖衣服的商人当会计(gumasta)，他的外祖父曾是埃罗德当地法庭的一位amin*。他五岁上的学，没满七岁，就转到贡伯戈纳姆镇上的高等学校去，在那儿他拿全额奖学金，人们立刻辨认出了他身上刚刚萌芽的超凡天赋“他曾”这是一位旧日同学写给塞舒·耶尔先生的信“从学院图书馆里借了卡尔的《纯粹数学概要》，证明书中公式，乐在其中……早年，他就爱拿他的公式和定理来跟朋友们消遣取乐……他有超凡的记忆力，能够轻松背出整个梵语词根表(atmanepada and parasmepada)，报出 $\sqrt{2},\pi ,e$ ，小数点后任意位的数值……说到神态言行，他是单纯无邪的化身。“

* amin 这个职位，主要职责是传唤证人、笔录口供、或与律师沟通等等。

1904年，他通过贡伯戈纳姆当地官方大学的入学考试，得到了“初等苏布拉尼姆奖学金”。由于英语不好，没能通过下一次考试，他失去了奖学金，就离开了苏布拉尼姆。先到维沙卡帕特南，再到马德拉斯。1906年12月，他在那里参加了“一等文科考试”，可是没有通过，此后再也不曾重考。接下来的几年，他继续独立研究数学，“把他的结论粗略地记在两本大开本的笔记本上。”这些笔记本里，有一本至今仍留存在我手中。1909年，他结了婚，必须找份稳定的工作。我引用塞舒·耶尔先生的话——

最后，他去了蒂鲁戈伊卢尔，南阿尔果德的一个小镇属区，去见 V·拉马斯瓦米·耶尔先生，印度数学协会的创始人，而耶尔先生，见识过他超凡的天才后，劝他去马德拉斯。此后隔了四年，拉马努金才来马德拉斯见我，带着上述的两本大开本笔记本。我给了他一份推荐，叫他去见真心热爱数学的人，迪万·伯哈德（Dewan Bahadur）*R. 拉马钱德拉·拉奥，内洛尔的地方税务官，内洛尔是个小镇，离马德拉斯足有80英里远。拉奥先生把他又打发回我这儿，说叫拉马努金这样聪慧的天才在内洛尔这种乡下地方朽烂掉，未免太残酷了，推荐他留在马德拉斯，慷慨地负担起拉马努金一段时期里的全部费用。这是1910年12月的事。如此过了一阵子，没能帮他弄到奖学金。拉马努金自己不愿长期拖累别人，1912年，他决定在马德拉斯的港务部门当个小职员。

* 迪万·伯哈德是一种荣誉头衔，有点近似英国的爵士。
然而，他的数学工作从未懈怠过。他最早寄给《印度数学协会月刊》的稿件，以和我通信讨论问题的形式，发表在第3期上（1911年），他第一份长篇论文《论伯努利数的某些性质》发表在同年第12期上。拉马努金的方法极端简练新奇，而他的表述又缺乏清晰和精确性，以至于不习惯这种高难度智力锻炼的普通读者，几乎不可能跟上他的思路。这篇文章被编辑打回来好几次，才算改的宜于公开发表。在此期间，他有天带了一些关于素数的定理来见我，我向他谈起哈代的小册子《无穷大之阶》。他发现哈代的小册子第36页上说“ $\rho \left ( x \right )$ 的精确阶数，由下列等式定义
$\rho \left ( x \right )=\pi\left(x \right )-\int_{2}^{x} \frac{dt}{\log{t}}$
$\pi(x)$ 指的是小于 $x$ 的数中素数的个数，其阶数尚未被精确定义。
而他发现了能定义 $\pi$ 函数阶数的方式。于是我就建议他，可以把他的结果写信寄给哈代先生，并附上另一些他的结果。

这段话使我追忆起我本人和拉马努金的初识。然而在我谈到我从他那儿收到的信，以及这些信如何最终促成了他的英国之行前，我必须再谈几句他在印度的职业生涯。 G· T· 沃克博士,英国皇家学会成员，气象部门主任，前剑桥三一学院数学讲师和研究员，1912年时因公务在马德拉斯出差，弗朗西斯·斯普林爵士，二等爵级司令勋章获得者，马德拉斯海关当局局长，也让沃克博士关注拉马努金的工作。尽管这些工作和他自己的工作领域截然不同，但沃克博士是一位极好的数学家，不可能看不出它的价值。他使马德拉斯当局和大学注意到拉马努金的事情。发给他一份研究奖学金“两年内每月75卢比”，他从此成了，终生都是，一位职业数学家。

Ⅱ
1913年，1月16日，是拉马努金和我通信的开端，直至他于1914年坐船到达英国前，他一直定期写信给我。我不相信他的信完全出自他自己之手。以他当时的英语水平，几乎不可能写出这种信，而且还有一些非常不合他性格的套话。事实上，我似乎记得，他告诉过我，他的朋友帮他润色过信。然而，真正重要的是数学，而那断然无疑是他的。

“
亲爱的先生，马德拉斯，1913年，1月16日
谨自我介绍如下：我是马德拉斯港务信托处财务部门的职员，年薪仅20镑，23岁。我未受过大学教育，但已学完通常中学课程，离开学校后，我以闲暇时间从事数学。我未能走上常规的正式大学课程指引的研究道路，但我在开辟我自己的道路。我对一般的发散级数作了专门的研究，本地的数学家们说，我所得到的结果是“令人震惊的”
您在初等数学里给 $a^n$ 函数以新的定义，以定义当n取负数或是分数时的值，使得和n取正整数时的规律依旧成立。同理，我的工作也是给出一种方式解决，当n取任意值时，欧拉第二积分值的定义。我上过大学课程的朋友告诉我， $\int_{0}^{\infty}x^{n-1}e^{-x}dx=\Gamma(n)$ 只在n取正值时才有意义，他们说这个积分式当n为负值时无法定义。假定当n为正时， $\Gamma$ 函数符合此定义式，并且仍旧假定定义 $n\Gamma(n)=\Gamma(n+1)$ 在任何情况下都为真。在这两个条件下，我给这些积分以新的定义，并使此积分对于 $n$ 取负数或分数时仍有意义。我的整个研究都基于此，而我已将它发展到了相当丰富的程度，以至于当地数学家们都无法理解我探索所达到的高度。
最近，我偶然看到了您个人风格的小册子“无穷大之阶”，在36页上，有一句话说，对于小于任意给定数的素数个数，尚没有精确定义的表达式。我已经找到了一个表达式，能给出和实际结果非常近似的值，误差可以忽略不计。我谨求您审阅一下附上的论文。因为我很贫困，若您认为这论文多少还有一点价值，我很愿意看到我的定理发表。我没有写出全部的研究，也没有给出我所得到的表达式，但我已指明了我前进的路线。因为我毫无经验，您给我的任何指教，我都将极为珍视。有劳之处，尚祈见谅。
S·拉马努金
P.S—我的地址是S·拉马努金，财务部职员，港务信托处，马德拉斯，印度“

此处我引用了信中附上的论文，和后来的几封信。

“36页上说，小于 $x$ 的素数个数是技术分享图片而的精确阶数尚未确定……
我注意到， $\rho{(e^{2\pi x})}$ 有这样这样一种性质，即当 $x$ 取 $0-3$ 之间的值时，它的值非常小（当 $x=3$ 时，它的值小于几百）然而当 $x$ 大于 $3$ 时，它的值便急速增大……
当趋向于无穷大时，小于技术分享图片的 $4n-1$ 形式的素数，和小于的 $4n+1$ 形式的素数之差，将会趋于无穷大。
下述是我定理的几个例子
(1)小于 $n$ 的，具有 $2^p3^q$ 形式的数的个数小于 $n=\frac{1}{2} \frac{\log{(2n)}\log{(3n)}}{\log{2}\log{3}}$ ，其中 $p$ 和 $q$ 可取任意正整数值，包括0。
(2)我们列出全部含有奇数个不同素因子的数。

例： $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47,$ 等等

(a) 小于 $n$ 的这种数个数约为 $\frac{3n}{\pi^{2}}$
(b) $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\cdots +\frac{1}{30^2}+\frac{1}{31^2}+\cdots = \frac{9}{2\pi^2}$

(c) $\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{5^4}+\frac{1}{7^4}+\cdots = \frac{15}{2\pi^4}$
（3）列出所有自然数的因子个数
$1,2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2,$ 等等（1有一个因子，2有两个，3有两个，4有三个，5有两个，等等）
$1$ 到 $n$ 所有数的因子个数之和约为 $=n(2\gamma -1 + \log n)+$ $\frac{1}{2}$ $n$ 的因子数
此处 $\gamma=0.5772156649\cdots$ ，即欧拉常数
（4） $1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17,18,$ 这些数的共同点是，它自身是平方数，或能表示成两平方数之和。
在大于 $A$ 小于 $B$ 的区间里，这种数的个数为 $=K \int_{A}^{B}{ \frac{dx}{\sqrt{\log x}}}+\theta{(x)}^\star$ ，此处 $K=0.764\cdots$ , $\theta(x)$ 与前一项 $K$ 积分相比非常小， $\theta(x)$ 也可精确表达，但非常复杂……“

*应写作 $\theta(B)$

也许我应当在此处插述一些对这个领域里拉马努金工作的评论：

对复变函数理论的无知毁了拉马努金的素数理论。这是（这么说吧）如果黎曼函数没有复零点，他这个理论就是正确的。他的证明方法依赖于大规模使用发散级数，还完全忽略了交换双重极限符号时的困难。比方说吧，他压根不懂级数求和 $\sum a_{n}$ 与阿贝尔和 $\lim_{x \rightarrow 1}\sum a_{n}x^{n}$ 有什么不同，或者别的任何现代分析学家常用的极限，在他眼里都一模一样。在某些数学领域中，忽略现代数学所要求的严格性，没什么风险。可解析数论绝不是这种领域，拉马努金在印度时做的素数方面工作，以及一切相关工作，从根本上就错了。可以猜到，他的证明肯定是站不住脚的。而更离谱的是，许多事实结果也弄错了。尽管用了不正确的方式，他的确得到了经典公式的主项；不过其中没有一个能给出他指望的精确近似度。

可以说这是拉马努金的一场惨败。但我不确定，在某种程度上，他的失败是否比他的一切成功更美丽。比方说，看看问题4，解的主项是 $KB (\log{B})^{- \frac{1}{2}}$ (我在此处用的是拉马努金的记号)：这个结果最早是朗道1908年得出的， $\log B$ 的阶数，在误差范围内，和拉马努金的陈述是一致的。然而，拉马努金的式子里还暗含了其他部分，而那部分，无疑是错的。*他的积分无法给出比朗道的简单公式更精确的结果。可是，拉马努金手上没有朗道的武器；他从未读过一本法语或德语书；就算是英语，他的英文水平还不够让他得到学位。对他，单是梦见这些问题，就算得上是奇迹了，这些问题花了欧洲最好的数学家们一百年的时间来解决，而这些解至今仍不完整。

*见他关于 $\theta (x)$ 阶数的陈述，引用自1913年，2月27日的信

IV.积分方面的定理，以下是几个例子:
(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{1+{(\frac{x}{b+1})}^2}{1+{(\frac{x}{a})}^2} \cdot \frac{1+{(\frac{x}{b+2})}^2}{1+{(\frac{x}{a+1})}^2} \cdots dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \frac{\Gamma(a+ \frac{1}{2})}{\Gamma(a)} \frac{\Gamma(b+1)}{\Gamma(b+ \frac{1}{2})}\frac{\Gamma(b-a+ \frac{1}{2})}{\Gamma(b-a+1)}$

……
（3）若 $\int_{0}^{\infty} \frac{\cos{nx}}{e^{2\pi \sqrt{x}}-1}dx = \phi(n)$
则 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{nx}}{e^{2\pi \sqrt{x}}-1}dx = \phi(n)- \frac{1}{2n}+\phi(\frac{\pi^2}{n}) \sqrt{\frac{2\pi^3}{n^3}}$
$\phi(n)$ 是一个复杂的函数，以下是它的几个特殊值

$\phi(0)= \frac{1}{12};\phi(\frac{\pi}{2})= \frac{1}{4\pi};\phi(\pi)= \frac{2-\sqrt2}{8};\phi(2\pi)= \frac{1}{16};\phi(\frac{2\pi}{5})=\frac{8-8\sqrt5}{16};$

$\phi(\frac{\pi}{5})=\frac{6+\sqrt5}{4}-\frac{5\sqrt10}{8};\phi(\infty)= 0;\phi(\frac{2\pi}{3})=\frac{1}{3}-\sqrt3(\frac{3}{16}-\frac{1}{8\pi}).$

（4） $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+r^2 x^2)(1+r^4 x^2) \cdots} =\frac{\pi}{2(1+r+r^3+r^6+r^{10}+ \cdots)}$
此处 $1,3,6,10\cdots$ 是自然数之和的数列
（5） $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin{2nx}}{x(\cosh{\pi x}+\cos{\pi x})}dx= \frac{\pi}{4}-2(\frac{e^{-n}\cos n}{\cosh{\frac{\pi}{2}}}-\frac{e^{-3n}\cos3 n}{3\cosh{\frac{3\pi}{2}}} \cdots)$
V．无穷级数和的定理* ，例如:

* 拉马努金的公式总不是表面上看起来那么简单，任何尝试过证明其中看来最简单的公式的人都会很快发觉这一点，在某些公式里，重要的东西埋的很深，另一些则相对浅些，但没有一个公式不叫人好奇，兴致盎然。

（1） $\frac{1}{1^3} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{2^3}+\frac{1}{4^3} \cdot \frac{1}{2^4}+ \cdots$

$= \frac{1}{5}{(\log 2)^3}-\frac{\pi^2}{12}\log{2}+(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}+ \cdots)$
（2） $1+9 \cdot (\frac{1}{4})^4+17 \cdot(\frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 8})^4+25 \cdot (\frac{1 \cdot 5 \cdot 9}{4 \cdot 8 \cdot 12})^4+ \cdots= \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi\{\Gamma(\frac{3}{4})\}^2}$
（3） $1-5(\frac{1}{2})^3+9(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^3-\cdots= \frac{2}{\pi}$
（4） $\frac{1^{13}}{e^{2\pi}-1}+\frac{2^{13}}{e^{4\pi}-1}+\frac{3^{13}}{e^{6\pi}-1}+\cdots= \frac{1}{24}\\$
（5） $\frac{\coth{\pi}}{1^7}+\frac{\coth{2\pi}}{2^7}+\frac{\coth{3\pi}}{3^7}+\cdots= \frac{19\pi^7}{56700}\\$
（6） $\frac{1}{1^5\cosh{\frac{\pi}{2}}}-\frac{1}{3^5\cosh{\frac{3\pi}{2}}}+\frac{1}{5^5\cosh{5\frac{\pi}{2}}}-\cdots= \frac{\pi^5}{768}$

……
VI，数列和积分变换的定理，例
（1） $\pi(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt1+\sqrt3}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt5}-\frac{1}{\sqrt5+\sqrt7}+\cdots)$

$=\frac{1}{1\sqrt1}-\frac{1}{3\sqrt3}+\frac{1}{5\sqrt5}-\cdots$
……
（3） $1-\frac{x^23!}{(1!2!)^3}+\frac{x^46!}{(2!4!)^3}-\frac{x^69!}{(3!6!)^3}+\cdots$ $=\{1+\frac{x}{(1!)^3}+\frac{x^2}{(2!)^3}+\cdots \} \{1-\frac{x}{(1!)^3}+\frac{x^2}{(2!)^3}- \cdots \}$
……
（6）若 $\alpha\beta=\pi^2$ ,则
$\frac{1}{\sqrt[4]{\alpha}}\{1+4\alpha\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{-\alpha x^2}}{e^{2\pi x}-1}dx\}=\frac{1}{\sqrt[4]{\beta}}\{1+4\beta\int_{0}^{\infty}\frac{x e^{-\beta x^2}}{e^{2\pi x}-1}dx\}$
（7） $n(e^{-n^2}-\frac{e^{-\frac{1}{3}n^2}}{3\sqrt3}+\frac{e^{-\frac{1}{5}n^2}}{5\sqrt5}-\cdots)$ $=\sqrt{\pi}(e^{-n \sqrt{\pi}}\sin {n\sqrt{\pi}}-e^{-n \sqrt{3\pi}}\sin {n\sqrt{3\pi}}+\cdots)$
（8）若 $n$ 为任意非零正整数
$\frac{1^{4n}}{(e^\pi-e^{-\pi})^2}+\frac{2^{4n}}{(e^2\pi-e^{-2\pi})^2}+\cdots=\frac{n}{\pi}\{\frac{B_{4n}}{8n}+\frac{1^{4n-1}}{(e^{2\pi}-1)}+\frac{2^{4n-1}}{(e^{4\pi}-1)}+\cdots\}$
此处 $B_2=\frac{1}{6},B_4=\frac{1}{30},\cdots$
VII．近似积分和级数求和定理
……
（2） $1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^x}{x!}\theta= \frac{e^x}{2}$
此处 $\theta=\frac{1}{3}+\frac{4}{135(x+k)}$ ，k介于 $\frac{8}{45}$ 与 $\frac{2}{21}$ 之间。
（3） $1+(\frac{x}{1!})^5+(\frac{x^2}{2!})^5+(\frac{x^3}{3!})^5+\cdots=\frac{\sqrt{5}}{4\pi^2}\cdot \frac{e^{5x}}{5x^2-x+\theta}$
当 $x=\infty$ 时， $\theta$ 即消去
（4） $x$ 很小时 $\frac{1^2}{e^{x}-1}+\frac{2^2}{e^{2x}-1}+\frac{3^2}{e^{3x}-1}+\frac{4^2}{e^{4x}-1}+\cdots=\frac{2}{x^3}(\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots)-$ $\frac{1}{12x}-\frac{x}{1440}+\frac{x^3}{181440}+\frac{x^5}{7257600}+\frac{x^7}{159667200}+\cdots$ （注， $x$ 必须取 $0$ 到 $2$ 之间的值。）
（5） $\frac{1}{1001}+\frac{1}{1002^2}+\frac{3}{1003^3}+\frac{4^2}{1004^4}+\frac{5^3}{1005^5}+\dots$ 近似等于 $\frac{1}{1000}-10^{-440}\times1.0125$
（6）

$\int_0^a e^{-x^2}dx =\frac{\sqrt{\pi}}{2}-\cfrac{e^{-a^2}}{2a+\cfrac{1}{a+\cfrac{2}{2a+\cfrac{3}{a+\cfrac{4}{2a+\cdots}}}}}$
（7） $\frac{1}{1-2x+2x^4-2x^9+2x^{16}-\cdots}$ 展开后， $x_n$ 的系数为最接近 $\frac{1}{4n}\{\cosh{(\pi\sqrt n)}-\frac{\sinh{(\pi\sqrt n)}}{\pi\sqrt n}\}\star$ 的整数

*这其实不对，但因为某些原因，这个公式很令人感兴趣

IX.连分数定理，几个例子如下

（1）

$\cfrac{4}{x+\cfrac{1^2}{2x+\cfrac{3^2}{2x+\cfrac{5^2}{2x+\cfrac{7^2}{2x+\cdots}}}}}=\{(\frac{\Gamma{(\frac{x+1}{4})}}{\Gamma{(\frac{x+3}{4})}})^2\}$

……
（4）若

$u=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^5}{1+\cfrac{x^{10}}{1+\cfrac{x^{15}}{1+\cfrac{x^{20}}{1+\cdots}}}}}$ $v=\cfrac{x^{\frac{1}{5}}}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{1+\cfrac{x^3}{1+\cdots}}}}$

则 $v^5=u\cdot\frac{1-2u+4u^2-3u^3+u^4}{1+3u+4u^2+2u^3+u^4}$
（5）

$\cfrac{1}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1+\cfrac{e^{-4\pi}}{1+\cfrac{e^{-6\pi}}{1+\cdots}}}}=(\sqrt{\frac{5+\sqrt5}{2}}-\frac{\sqrt5+1}{2})\sqrt[5]{e^{2\pi}}$
（6）

$\cfrac{1}{1-\cfrac{e^{-\pi}}{1+\cfrac{e^{-2\pi}}{1-\cfrac{e^{-3\pi}}{1+\cdots}}}}=(\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}-\frac{\sqrt5-1}{2})\sqrt[5]{e^{2\pi}}$
（7）若 $n$ 是任何正有理数，则 $\cfrac{1}{1+\cfrac{e^{-\pi \sqrt n}}{1+\cfrac{e^{-2\pi \sqrt n}}{1+\cfrac{e^{-3\pi \sqrt n}}{1+\cdots}}}}$ 均可精确表达

1913.2.27
“在您身上，我发现了一位怀着同情心看待我的劳绩的朋友。这已经足够鼓励我继续前进……在信里，我看到您多次要求严格证明，您要我把证明方法寄来……我告诉他* :在我的理论里，无穷级数 $1 + 2 + 3 + 4+...$ 之和为 $-1/12$ 。要是我对您这么讲，您会立刻说，疯人院正是我的归宿……我只能对您说：证明我给的结果，若是它们和您的结果一致……您至少应该承认，我的基础原则里有一些真理……
我的大脑要靠食物来养活。这是我眼下最急迫的问题，您写给我的任何表示同情的信都有助于我从政府或大学那里弄到奖学金……

*涉及之前的通信
1.小于 $e^a$ 的素数个数为 $\int_0^\infty \frac{a^xdx}{xS_{x+1}\Gamma(x+2)}$
此处 $S_{x+1}=\frac{1}{1^{x+1}}+\frac{1}{2^{x+1}}+\dots$
2.小于 $n$ 的素数个数为 $\frac{2}{\pi}\{\frac{2}{B_2}(\frac{\log n}{2\pi})+\frac{4}{3B_2}(\frac{\log n}{2\pi})^3+\frac{6}{5B_2}(\frac{\log n}{2\pi})^5+\dots\}$
此处技术分享图片，即伯努利数
您信中问的 $\theta(x)$ 的阶数为 $\sqrt{(\frac{x}{\log x})}$
（1）若

$F(x)=\cfrac{1}{1+\cfrac{x}{1+\cfrac{x^2}{1+\cfrac{x^3}{1+\cfrac{x^4}{1+\cfrac{x^5}{1+ \cdots }}}}}}$

则在 $\alpha\beta=\pi^2$ 的条件下 $\{\frac{\sqrt 5+1}{2}+e^{-\frac{2\alpha}{5}}F(e^{-2\alpha})\}\{\frac{\sqrt 5+1}{2}+e^{-\frac{2\beta}{5}}F(e^{-2\beta})\}=\frac{5+\sqrt 5}{2}$
例：

$\cfrac{1}{1+\cfrac{e^{-2 \pi \sqrt 5}}{1+\cfrac{e^{-4 \pi \sqrt 5}}{1+\dots}}}=e^{\frac{2 \pi}{ \sqrt {5}}}\{\frac{\sqrt5}{1+\sqrt[5]{5^{\frac{3}{4}}(\frac{\sqrt5-1}{2})^{\frac{5}{2}}-1}}-\frac{\sqrt5+1}{2}\}$
上述定理是连分数 $\cfrac{1}{1+\cfrac{ax}{1+\cfrac{ax^2}{1+\cfrac{ax^3}{1+\cfrac{ax^4}{1+\cfrac{ax^5}{1+\cdots}}}}}}$ 的一个特殊情况，
而这个连分数又是另一个连分数 $\cfrac{1}{1+\cfrac{ax}{1+bx+\cfrac{ax^2}{1+bx^2+\cfrac{ax^3}{1+bx^3+\cdots}}}}$ 的特殊情况
这也是连分数一个普遍适用定理的特殊例子
（2）(i)

$4\int_0^\infty \frac{xe^{-x\sqrt5}}{\cosh x}dx= \cfrac{1}{1+\cfrac{1^2}{1+\cfrac{1^2}{1+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{3^2}{1+\cfrac{3^2}{1+\cdots}}}}}}}$

(ii)

$4\int_0^\infty \frac{x^2e^{-x\sqrt3}}{\cosh x}dx= \cfrac{1}{1+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{3+\cfrac{2^3}{1+\cfrac{2^3}{5+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{7+\cdots}}}}}}}$
（3）

$1-5\cdot(\frac{1}{2})^5+9\cdot(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^5-13\cdot(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6})^5+\cdots =\frac{2}{\{\Gamma(\frac{3}{4})\}^4}$
……
（6）

若 $v=\cfrac{x}{1+\cfrac{x^3+x^6}{1+\cfrac{x^6+x^{12}}{1+\cfrac{x^9+x^{18}}{1+\cdots}}}}$
则(i) $x(1+\frac{1}{v})=\frac{1+x+x^3+x^6+x^{10}+\cdots}{1+x^9+x^{27}+x^{54}+x^{90}+\cdots}$

(ii) $x^3(1+\frac{1}{v^3})=\frac{1+x+x^3+x^6+x^{10}+\cdots}{1+x^3+x^{9}+x^{18}+x^{30}+\cdots}$
（7）若 $n$ 是任意奇整数，则
…… $\frac{1}{\cosh{\frac{\pi}{2n}}+\cos{\frac{\pi}{2n}}}-\frac{1}{3(\cosh{\frac{3\pi}{2n}}+\cos{\frac{3\pi}{2n}})}+\frac{1}{5(\cosh{\frac{5\pi}{2n}}+\cos{\frac{5\pi}{2n}})}-\dots=\frac{\pi}{8}$
（10）若 $F(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon)=1+\frac{\alpha}{1!}\cdot\frac{\beta}{\delta}\cdot\frac{\gamma}{\epsilon}+\frac{\alpha(\alpha+1)}{2!}\cdot\frac{\beta(\beta+1)}{\delta(\delta+1)}\cdot\frac{\gamma(\gamma+1)}{\epsilon(\epsilon+1)}+\cdots$
则 $F(\alpha,\beta,\gamma,\delta,\epsilon)=\frac{\Gamma(\delta)\Gamma(\delta-\alpha-\beta)}{\Gamma(\delta-\alpha)\Gamma(\delta-\beta)}\cdot F(\alpha,\beta,\epsilon-\gamma,\alpha+\beta-\delta+1,\epsilon)\\$ $+\frac{\Gamma(\delta)\Gamma(\epsilon)\Gamma(\alpha+\beta-\delta)\Gamma(\delta+\epsilon-\alpha-\beta-\gamma)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)\Gamma(\epsilon-\gamma)\Gamma(\delta+\epsilon-\alpha-\beta)}$ $\times F(\delta-\alpha,\delta-\beta,\delta+\epsilon-\alpha -\beta -\gamma,\delta-\alpha -\beta +1,\delta +\epsilon-\alpha -\beta )$
……
（13）

$\cfrac{a}{1+n+\cfrac{a^2}{3+n+\cfrac{(2a)^2}{5+n+\cfrac{(3a)^2}{7+n+\cdots}}}}$ $=2a\int_0^1 z^{\frac{n}{\sqrt{(1+a^2)}}}\frac{dz}{\{\sqrt{(1+a^2)}+1\}+z^2\{\sqrt{(1+a^2)}-1\}}$
（14）若

$F(\alpha ,\beta )=\alpha +\cfrac{(1+\beta )^2+k}{2\alpha +\cfrac{(3+\beta )^2+k}{2\alpha \cfrac{(5+\beta )^2+k}{2\alpha +\cdots}}}$

则
$F(\alpha ,\beta )=F(\beta,\alpha )\\$
（15）若

$F(\alpha ,\beta )=\cfrac{\alpha }{n+\cfrac{\beta ^2}{n+\cfrac{(2\alpha )^2}{n+\cfrac{(3\beta )^2}{n+\cdots}}}}$
则

$F(\alpha ,\beta )+F(\beta,\alpha )=2F(\frac{1}{2}(\alpha +\beta), \sqrt{(\alpha \beta )})$
……
（17）若 $F(k)=1+(\frac{1}{2})^2k+(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4})^2k^2+\cdots$ 且 $F(1-k)=\sqrt{210}F(k)$
则 $k=(\sqrt2-1)^4(2-\sqrt3)^2(\sqrt7-\sqrt6)^4(8-3\sqrt7)^2(\sqrt10-3)^4(4-\sqrt{15})^4(\sqrt{15}-\sqrt{14})^2(6-\sqrt{35})^2$
……
（20）若

$F(\alpha )=\int_0^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d\phi}{ \sqrt{\{1-(1-\alpha )\sin^2\phi\}}}\slash \int_0^{\frac{1}{2} \pi} \frac{d\phi}{ \sqrt{\{1-\alpha \sin^2\phi\}}}\\$
且

$F(\alpha )=3F(\beta )=5F(\gamma )=15F(\delta )\\$
则(i)

${[{(\alpha\delta)}^{\frac{1}{8}}+ \{(1-\alpha )(1-\delta )\}^{\frac{1}{8}}]}{[{(\beta \gamma )}^{\frac{1}{8}}+ \{(1-\beta )(1-\gamma )\}^{\frac{1}{8}}]}=1$
……

$(\alpha \beta \gamma \delta )^{\frac{1}{8}}+ \{ (1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )(1-\delta ) \} ^{\frac{1}{8}}$

$+\{16\alpha \beta \gamma \delta (1-\alpha )(1-\beta )(1-\gamma )(1-\delta )\}^{\frac{1}{24}}=1$
……
（21）若 $F(\alpha )=3F(\beta )=13F(\gamma )=39F(\delta )\\$

或 $F(\alpha )=5F(\beta )=11F(\gamma )=55F(\delta )\\$

或 $F(\alpha )=7F(\beta )=9F(\gamma )=63F(\delta )\\$

则 $\frac{\{(1-\alpha )(1-\delta )\}^{\frac{1}{8}}-(\alpha \delta )^{\frac{1}{8}}}{\{(1-\beta )(1-\gamma )\}^{\frac{1}{8}}-(\beta \gamma )^{\frac{1}{8}}}=\frac{1+\{(1-\alpha )(1-\delta )\}^{\frac{1}{4}}+(\alpha \delta )^{\frac{1}{4}}}{1+\{(1-\beta )(1-\gamma )\}^{\frac{1}{4}}+(\beta \gamma )^{\frac{1}{4}}}$
……
（23） $(1+e^{-\pi \sqrt{1353}})(1+e^{-3\pi \sqrt{1353}})(1+e^{-5\pi \sqrt{1353}})\cdots\\$

$=\sqrt[4]{2}e^{-\frac{1}{24}\pi \sqrt{1353}}\times\sqrt{\{\sqrt{(\frac{569+99\sqrt{33}}{8})}+\sqrt{(\frac{561+99\sqrt{33}}{8})\}}}\times\\$

$\sqrt{\{\sqrt{(\frac{25+3\sqrt{33}}{8})}+\sqrt{(\frac{17+3\sqrt{33}}{8})\}\times\sqrt[4]{(\frac{123+11}{\sqrt2})}}}\times\\$

$\sqrt[8]{(10+3\sqrt{11})}\times\sqrt[8]{(26+15\sqrt{3})}\times\sqrt[12]{(\frac{6817+321\sqrt{451}}{\sqrt2})}$
……
1913年，4月17日

“……您写下的话语让我有些心痛……*我丝毫也不担心我的方法被别人窃取，正相反，我已发现这个方法8年之久，而尚未找到任何一个能理解这种方法的人。如我在上一封信中说的那样，您是一位同情我的朋友，我愿无保留地将我所有的微薄之物献于您。我至今无法在通信中讲清我得到这些公式的方法，只因这些方法太过新奇。“……我愉快地告诉您，在英国皇家学会成员，印度气象部门的主管沃克博士的的提议下，当地大学已经同意给我一份两年度的奖学金，每年60英镑，我对他深为感谢……我也请求您向小木头先生,巴恩斯博士, 贝里先生,以及其他所有对我感兴趣的人，转致我的谢意。

*拉马努金很可能合乎情理的认为，不宜把他的秘密解法泄露给一位英国数学家，而我稍前极力试图说服他不需要担心这一点。“

III.

没有必要再讲一遍拉马努金如何被带到英国来的故事了。一路上有许多艰难险阻，主要由E. H. 内维尔教授负责解决了它们，他于1914年4月陪伴拉马努金来到英国。拉马努金从马德拉斯得到了一份250英镑的奖学金，其中有50英镑留给他的家人，还有三一学院发给他的60英镑经费。对于像他那样品味简朴的离谱的人而言，这是一笔巨款；这样他就省下了一大笔钱，以供日后急需金钱时用上。他没有任何义务，可以随心所欲，当然，他想得到一个剑桥的研究生学位，，不过这只是走个过场。现在，他，一生当中第一次，处在完全舒适的位置，可以安心地献身于研究工作

有一个巨大的难题。该怎样教他现代数学呢？他知识面的局限性和深奥性同样令人惊诧。他能把模方程，以及复数乘法的定理算到闻所未闻的阶数；对连分数的掌握程度，至少在形式方面，胜过世上一切数学家；独立发现了 $\zeta$ 函数的方程，以及许多解析数论中最著名问题的解答式的主项，可他甚至没听说过双周期函数或者柯西定理，并且，其实，对何谓复变函数只有极模糊的概念。在他心里，用朦胧至极的描述就足以构建一个数学证明。所有他的成果，无论新的旧的，对的错的，都是用模糊的论证，直觉，归纳法拼凑出来的，对这个拼凑过程，他完全无法给出任何连贯的描述。

要叫这样一个人去接受系统的讲课，试着从开头再学一遍数学，那是门都没有的事儿。我还害怕，若是过度坚持讲让拉马努金感到厌烦的内容。也许我会毁掉他的信心，或者使他灵感的魔力破灭。可另一方面，有些事他不能永远一无所知。他的好些结果是错的，特别是那些他看的最重的，关于素数分布的结果错了。不可能放任他活了一辈子，还居然以为 $\zeta$ 函数的零点全是实的。因此我必须试着去教他，一定程度上，我成功了。当然，我从他那儿学到的肯定比他从我这里学到的要多得多。短短几年时间，他就有了足够的函数理论和解析数论知识。他从未成为一位受过现代教养的数学家，也没人想要他变成那样。但他懂了什么样算是证明了，什么样算是没证明。而他新颖的想法之源丝毫没有枯竭。

我应当再谈几句拉马努金数学以外的兴趣爱好，和他的数学一样，这些爱好也显现出最奇特的对照。他对文学，我这么说吧，几乎没兴趣，对艺术也是如此，尽管他能分辨出好坏文学。另一方面，他是个诚挚的哲学爱好者。虽然以现代剑桥学派的追随者的角度来看，他的观点太模糊了，他是热情的政治爱好者，和平主义者，立场极端激进。他始终谨守他的种姓的教规，在留居英国的印度人中，这种严格程度极为少见。然而他的宗教观不过是遵守教规，而非理智的信念，我清楚地记得他告诉过我(很令我吃惊)在他眼里，所有的宗教都或多或少同样真实。在文学上，哲学上，数学上，他都有一种对出乎意料，稀奇古怪事物的热情，在别的事情上也一样，他收藏了一堆化圆为方者和别的怪人写的书。

1917年春天，拉马努金初次显露出不好的征兆。初夏时，他进了剑桥的护理所，此后再没离开过病榻。他住过威尔斯，马特洛克,伦敦的休养所，直到1918年的秋天，他才有明显好转的迹象。或许由于受到进入皇家学会的激励，他稍后恢复了活跃的工作，一些最美的定理就是这个时期发现的。被选上三一学院研究员也激励了他。任何一个为时未晚就已认识到他的身价的这类知名学会都该为此祝贺自己* 1919年初，他看来已经恢复到可以强撑着航海回印度了。最好的大夫也还抱着他彻底好转的希望。我很久没有听到他的消息，因此我感到很紧张；不过1920年2月，一封信寄到了我手中，从这封信里可以看出，他仍在活跃地研究。

*初版无此句
马德拉斯大学
1920.1.12

“我非常抱歉，直至今日都没有给你写过一封信……最近，我发现了一族非常有趣的函数，我称之为仿 $\vartheta$ 函数，有别于假 $\vartheta$ 函数（罗杰斯教授那篇有趣的论文里专门研究过的那种函数），仿 $\vartheta$ 函数的数学特性和普通的 $\vartheta$ 函数一样美丽。我在这封信里寄给你一些例子。
仿 $\vartheta$ 函数
$\phi(q)=1+\frac{q}{1+q^2}+\frac{q^4}{(1+q^2)(1+q^4)}+\cdots\\$

$\psi(q)=\frac{q}{1-q}+\frac{q^4}{(1-q)(1-q^3)}+\frac{q^9}{((1-q)(1-q^3)(1-q^5)}+\cdots\\$
……
仿技术分享图片函数（5阶函数）
$f(q)=1+\frac{q}{1+q}+\frac{q^4}{(1+q)(1+q^2)}+\frac{q^9}{(1+q)(1+q^2)(1+q^3)}+\cdots\\$
……
仿函数（7阶函数）
(i) $1+\frac{q}{1-q^2}+\frac{q^4}{(1-q^3)(1-q^4)}+\frac{q^9}{((1-q^4)(1-q^5)(1-q^6)}+\cdots\\$
……
“
他几乎没有谈及他的健康，谈时也没有特别不乐观，我对他的死讯真是毫无准备。

后续见【资料】【哈代/拉马努金】悼文（二）

上一篇见【资料】【哈代/拉马努金】悼文（一）

IV.

拉马努金在欧洲发表了以下论文
1) 《一些定积分》messenger of mathematics，44卷（1914），10-18页
2) 《与高斯求和相关的一些定积分》同上，75-85页
3) 《模方程和π的近似值》数学季刊，45卷（1914），350-372页
4) 《黎曼函数 $\zeta (s)$ 和 $\Xi(t)$ 的新表达式》同上，46卷（1915），253-260页
5) 《论特定无穷级数》messenger of mathematics，45卷（1916）11-15页
6) 《特定级数求和》同上，157-160页
7) 《高合数》伦敦数学学会proc，第二辑，14卷（1915）347-408页
8) 《解析数论中的一些公式》messenger of mathematics，45卷（1916）81-84页
9) 《论特定算法函数》Trans，剑桥哲学学会。22卷（1916）第9期159-184页
10) 《欧拉常数相关的某些级数》messengerof mathematics，46卷（1917）73-80页
11) 《论数的 $ax^2+by^2+cz^2+dt^2$ 形式表示》proc剑桥哲学学会，19卷（1917），11-21页
12) *《 $n$ 的划分数的渐近公式》法兰西科学院周刊，1917年1月2日
13) *《整数各种划分方式总数的渐近公式》伦敦数学学会proc，第二辑，16卷（1917）112-132页
14) *《数 $n$ 的素因子个数》数学季刊，48卷（1917），76-92页
15) *《组合分析的近似公式》伦敦数学学会proc，第二辑，17卷（1918）75-115页
16) *《论特定模函数的展开系数》皇家学会Proc（A）95卷（1918年）144-155页
17) 《论特定三角级数和，及其在数论中的应用》Trans，剑桥哲学学会。22卷（1918）第13期259-276页
18) 《 $n$ 的划分数 $p(n)$ 的某些性质》proc剑桥哲学学会，19卷（1919），207-210页
19) 《组合分析中特定恒等式的证明》同上，214-217页
20) 《一类定积分》数学季刊，48卷（1920），294-310页
21) 《划分数的同余性质》数学杂志【zeitschrift】，第九卷（1921）147-153页

加星号的那些论文是同我合作写的。（21）于死后发表，是一篇从我保存的大量未公开手稿中总结出的摘要性文章。*他还做过一些简短发言，保存在我们的会议记录中，以及在印度数学学会会刊上也发表过文章，完整列表如下#：

会议记录
22) *《证明几乎所有的数 $n$ 都由接近于 $\log\log n$ 个素因子连乘而得》1916年12月14日
23) *《组合分析中的近似公式》1917年3月1日
24) 《一些定积分》1918年1月17日
25) 《划分数的同余性质》1919年3月13日
26) 《某些无穷乘积间的代数关系》1919年3月13日
印度数学学会会刊
（A）文章与评论
27) 《伯努利数的某些性质》第三卷（1911）219-234页
28) 《论Sanjana教授的第330问》第四卷（1912）59-61页
29) 《一系列方程》第四卷（1912）94-96页
30) 《不规则数》第五卷（1913）105-106页
31) 《化圆为方》第五卷（1913）132页
32) 《论定积分 $\int_0^x \frac{\tan^{-1}t}{t}dt$ 》第七卷（1915）93-96页
33) 《论数的因子》第七卷（1915）131-133页
34) 《最初的 $n$ 个自然数的平方根求和》第七卷（1915）173-175页
35) 《论连乘 $\prod[1+\frac{x^2}{(a+nd)^2}]$ 》第七卷（1915）209-211页
36) 《一些定积分》第十一卷（1919）81-87页
37) 《伯特兰假设的一个证明》第十一卷（1919）181-182页
38) 《与S.Narayana.Aiyar的通信》第三卷（1911）60页
（B）提出与解决问题
目次. 260, 261, 283, 284,289, 294, 295, 308, 353, 358, 386, 427, 441, 464, 489, 507,524,525，541, 546, 571, 605, 606, 629, 642, 666, 682, 700, 723, 724, 739, 740, 753,768, 769, 783, 785，1070。
（C）提出然而尚未解决的问题
目次, 327, 352, 387, 441, 463, 469, 526, 584，661, 662, 681, 699, 722, 738, 754,755, 770, 784, 1049,及 1076.。
最后，我还应当提到一些出自其他作者之手，与拉马努金的工作相关的文章?
《拉马努金先生一个公式的证明》作者：G·H·哈代（messenger of mathematics，44卷（1915）18-21页）
《S·拉马努金先生在英国的数学工作》作者：G·H·哈代（致马德拉斯大学的报告1916，私下印行）
*拉马努金的全部论文原稿都过了我的手，我非常细心地编辑它们以供发表，早期的几篇我完全重写了，除非我真的是合作者，或者提供给他某些已知的知识以外，我对这些结果全都并无贡献。拉马努金对最小的帮助都要致谢，谨慎的简直荒谬。

#初版无此段
?【更多此类文章见附录】
《论拉马努金先生的模函数经验展开》作者：L·J·莫德尔（proc剑桥哲学学会，19卷（1917），117-124页
《拉马努金生活小绘》（印度数学学会会刊时评，11卷，1919，122页）
《注释：列举数的划分数的奇偶性》作者：P·A·麦克马洪(proc剑桥哲学学会，20卷（1921），281-283页)
《证明S·拉马努金提出的几个恒等式和同余关系》作者：H·B·C·达林（伦敦数学学会proc，第二辑，19卷（1921）350-372页）
《论一种模关系》作者：L·J·罗杰斯（同上，387-397页）

显然，要我在这样一篇讣告里，试图对拉马努金的工作做出理性估计，是不可能的。其中一部分工作和我自己联系密切，我做不到不偏不倚地判断。此外，我还几乎没有能力去评判；因为有大量未发表的材料，有些是全新的，有些是早被发现的；有些是证明好的，有些纯属猜想，有待进一步分析。然而，简单武断地说一下，在我眼里，哪些工作是拉马努金最好，最有主见，最能反映他特性的工作，或许并非无益。

在我看来，他最令人印象深刻的论文是(3), (7), (9), (17), (18), (19), 和 (21)，第一篇主要是他来英国前，在印度时做的工作，许多早就被别人发现了，然而仍有很大一部分是新的东西，尤其是，一系列令人震惊的逼近 $\pi$ 的代数表达式，我只在此举两个例子，到小数点后8、9位都与 $\pi$ 相吻合。

$\pi=\frac{63}{25}\frac{17+15\sqrt5}{17+15\sqrt5} , \ \ \ \ \frac{1}{2\pi \sqrt2}=\frac{1103}{99^2}$

（7）是一份长篇研究报告，它研究的问题也许属于数学领域中的一片死水，细节过于繁杂。然而这份关于“高合数”——指的是比任何小于它本身的数有更多因子的数——的初等分析极端杰出。非常清晰的显现出拉马努金掌握代数不等式的水平何等卓越。（9）和（17）这两篇论文可以一起读，还可以带着上述提到的莫德尔的论文读。因为莫德尔先生后来证明了拉马努金的许多猜想。这几篇论文的内容里，最特别的是把数表示成平方数之和的结果，非常重要，非常有独创性。*然而我却倾向于认为，划分数理论，连带提到的椭圆函数论部分和连分数，才是拉马努金最出彩的领域。在论文（18）（19）（21）以及上述罗杰斯教授和达林先生那两篇论文中，包含了全部关于这方面领域的工作（至少在他已发表的论文里只有这些），数学中少有比罗杰斯-拉马努金恒等式更美的式子，那在（19）中被拉马努金证明了，但是罗杰斯教授的证明早于他；并且，如果我在拉马努金的所有工作中只能选一个公式，我和麦克马洪少校一样，都会选择（18）中的这个式子

$p(4)+p(9)x+p(14)x^2+\cdots=5\frac{\{(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{15})\cdots\}^5}{\{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\}^6}$

其中 $p(n)$ 是 $n$ 的划分数。

*初版斜体部分作：非常美丽

时常有人问我，拉马努金是否有什么特别的秘密，他的研究方法是否和别的数学家不同，他的思维模式是否有什么异常之处。我不能斩钉截铁确信无疑地回答这些问题。但我不相信是这样。我的信仰是，所有数学家的思维方式归根结底都一样，拉马努金也不例外。他，当然，记忆力卓越出众。他能以几近不可思议的方式记住数字的特性。利特尔伍德先生评价（我相信是他说的）“每个正整数都是他的私人朋友。”我记得有一次，他在帕特尼卧病在床，我去探望他。来时坐的出租车号是1729，我说，这个数字（=7×13×19）在我看来相当无趣，但愿这不是什么不祥之兆。“不”他回答道“这是个非常有趣的数，它是最小的能以两种不同方式写成两立方和的数。*”我自然而然地问他，能否告诉我四次方情况下的解是多少，想了一会儿之后，他回答说，找不到明显的例子，他认为这样的第一个数一定非常大? 。他的记忆力和计算能力的确极端超凡，但并不能说他在理性上“异常”。如果他要把两个很大的数乘起来，他也只是用通常的方法去乘，他远比一般人快而准确，但并不比那些天生就很快而又惯于计算的数学家们更快或更准。在我们的论文（15）结尾处，有一个划分数表，其中大部分内容都是由拉马努金和麦克马洪少校独立计算而得的，而一般来说，两人当中，麦克马洪少校往往稍微更快更准些。

* $1729=1^3+12^3=9^3+10^3$

? 有一个欧拉给出的例子 $158^4+59^4=134^4+133^4$ 其他解见L.E狄金森，数论史第二卷644-647页。

他对代数公式的洞察力，无穷级数变换的能力等等，实在是最令人惊羡的。在这方面，我绝未见过堪与他旗鼓相当的人，只能拿他和欧拉或雅可比相提并论。他远比大多数现代数学家更偏好从归纳数例中得出结果，比方说，他对划分数的同余性质研究，就完全是这么来的。然而凭着他的记忆力，耐心，计算能力，再综合起他归纳推广的力量，对数学形式的直觉，迅速修正自己假设的能力——这些往往着实令人称奇——使得他，在他自己的领域内，当世无人可敌。

人们总是认为，比起那些现代解析论尚未发展起来的伟大时光，当今的数学家更难表现出独创性来，无疑在某种程度上，这种说法是正确的。关于拉马努金的工作有多重要，该用什么样的标准来评判他，他会给未来的数学带来多大的影响，人们可能会众说纷纭。他的工作缺乏最伟大的工作所特有的简明和必然性；如果它们不那么奇特的话，会更伟大些。然而这些工作有一样闪光点，是不容否认的，即深刻和无可匹敌的独创性。若是他在年轻时更早被抓住和接受数学训练，他可能会成为一个更伟大的数学家，会发现更多全新的，并且，无疑是，更重要的东西。在另一方面，那样他就会变的不再像拉马努金，而更像一位欧洲教授，所失也可能会大于所得。

G.H.H

【资料】【哈代/拉马努金】悼文

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