码迷,mamicode.com
首页 > 其他好文 > 详细

多变量微积分20——球坐标系

时间:2018-05-23 20:30:26      阅读:452      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:原因   src   度量   col   均值   技术   介绍   作者   ref   

  球坐标系是三维坐标系的一种,用以确定三维空间中点、线、面以及体的位置,它以坐标原点为参考点,由方位角、仰角和距离构成。球坐标系在地理学、天文学中都有着广泛应用。

球坐标系

  球坐标中是这样表示空间中一点的:用ρ表示点到原点的距离,0 ≤ ρ≤ +∞;在ρz平面上,从z轴正半轴向ρ偏转的角度是φ,0 ≤ φ≤ π;从x轴偏转到平面的角度是θ,0 ≤ θ≤ 2π,如下图所示:

技术分享图片

  被称作球坐标的原因是,如果固定了ρ=a作为半径,通过移动ρ就可以得到一个球面,φ就是ρ的南北朝向,0°≤ φ < 90°,ρ朝北,90°<φ≤ 180°,ρ朝南:

 技术分享图片

  如果将上图看作地球,φ和纬度相似,都是衡量点到南北极点的距离。当然,在具体度量上有所差别,地理上赤道是0°纬线,然后向两极递增;球坐标的φ从北极点出发,向南极递增,赤道位置是90°。θ和经度类似,用来衡量东西方位,因此可将x轴正半轴的指向看作本初子午线,也就是0°经线,由于球坐标中θ的取值是[0, 2π],所以只有东经没有西经。

技术分享图片

  也可以通过柱坐标来理解球坐标(关于柱坐标,可参考《多变量微积分笔记19——直角坐标系和柱坐标系下的三重积分》):

 技术分享图片

  球坐标到柱坐标的互相转换相当于rz平面的极坐标表示法:

技术分享图片

  以上是球坐标系的所有公式,实际上只要记住图形就可以了。

  如果仅定义了ρ和φ,相当于向量绕着z轴旋转;特别地,当ρ从原点出发绕z轴旋转,将形成一个圆椎体,如下图所示:

技术分享图片 

  如果φ=π/2,则变成扁平的高度为0的圆锥——xy平面的圆。

球坐标系的积分

  想要计算三重积分,就需要知道体积积元dv,在球坐标系中dv需要转换成dρdφdθ,那么三者的顺序,也就是面积积元应当是什么?

  尝试用dφdθ作为面积积元,如下图所示:

技术分享图片

  ΔS是三维空间中物体便面积的微小面积块,在球坐标系中,当Δφ和Δθ足够小时,ΔS的两边p和q可以看作以O和O’ 为圆心的圆的微小弧长,两个圆互相垂直。如果两个圆的半径分别为r和a,则:

 技术分享图片

  Δρ是ΔV的厚度积元,对于球坐标来说,a = ρ:

 技术分享图片

  通常按照dρdφdθ的顺序计算最为简单。

综合示例

示例1

  计算单位球和z = 2-1/2所围的区域的体积:

技术分享图片

  尝试使用球坐标处理,积分很简单:

 技术分享图片

  问题转换成确定ρφθ的取值范围。因为是球体,很明显θ的取值范围就是[0, 2π]。通过球体的切面图形确定其余两个积元的取值:

 技术分享图片

  切面左右两侧对称,只需要观察一侧即可。φ是直角三角形的一角,随着ρ的滑动,φ的取值将是[0, π/4]。无论φ怎样取值,ρ的最大值都在球面上,所以ρ的最大值是1。当φ=0时,ρ在z轴上,此时ρ的最小值是2-1/2。这里很容易将ρ的取值误判为[2-1/2, 1],这需要用下图解释:

技术分享图片

  ρ向z轴方向旋转,此时φ减小,ρ的最大值始终位于球面,最小值是ρ与平面的交点处,所以ρ与φ有关。当ρ取最小值时,z始终是2-1/2,通过球坐标的公式可知:

 

 技术分享图片

  最终:

 技术分享图片

  分步计算(三角函数的积分可参考《数学笔记21——三角替换2(tan和sec)》):

技术分享图片

示例2

  立体区域D是圆心在(0, 0 , 1)的单位圆的上半球,计算D的体积和圆点到D的平均距离。

技术分享图片 

  根据球的图体积公式:

 技术分享图片

  现在使用积分去计算。和示例1一样,很容易确定θ的积分域是[0, 2π]。通过zx轴的截面确定φ的积分域:

 技术分享图片

  上图可以看出,φ的最大值是π/4,φ的积分域是[0, π/4]。ρ的取值如下图所示:

技术分享图片

  可以看到,ρ的积分上下限都不固定,它们随着φ的变换而改变,Max点是(x,y,z),其中:

 技术分享图片

  现在的问题是如何求得ρ的积分上限?求解方式是从几个已知条件和极坐标的公式中让ρ变成θ和φ的函数:

 技术分享图片

  最终:

 技术分享图片

  又是一个冗长的三角换元,分步计算如下:

技术分享图片

  球的体积也可以使用一元积分的圆盘法球的,可参考《数学笔记17——定积分的应用2(体积)》。

  在《多变量微积分笔记10——二重积分的应用》中介绍过均值问题,三重积分与之类似,距离的均值相当于在D区域内对ρ进行积分处理:

技术分享图片

 


作者:我是8位的

出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey

本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途! 

扫描二维码关注公众号“我是8位的”

技术分享图片

 

 

多变量微积分20——球坐标系

标签:原因   src   度量   col   均值   技术   介绍   作者   ref   

原文地址:https://www.cnblogs.com/bigmonkey/p/9077119.html

(0)
(0)
   
举报
评论 一句话评论(0
登录后才能评论!
© 2014 mamicode.com 版权所有  联系我们:gaon5@hotmail.com
迷上了代码!