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任意给出一个三角形ΔABC，设其顶点坐标分别为A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），那么根据线性代数的知识，ΔABC的有向面积可表示为：
其中，ΔABC顶点A、B、C逆时针给出时有向面积为正，顺时针给出时有向面积为负。如图1所示，S?ABC>0、S?ABD<0.
我们知道任意的多边形都可以分割成多个三角形，根据以上三角形面积公式就可以求出任意多边形的面积。如图2所示的六边形顶点坐标分别为O（x0, y0），A（x1, y1），B（x2, y2），C（x3, y3），D（x4, y4），E（x5, y5），则其面积可以表示为四个三角形面积之和：S=S?OAB+S?OBC+S?OCD+S?ODE
其中：
所以
即
图2
在这里，前文给出的多边形示例是一个凸多边形，那么这一结论适用于凹多边形吗？下面我们看看如图3所示的凹多边形。
按照上面的思路，这里的凹多边形面积表示为：S=S?OAB+S?OBC+S?OCD，从前面介绍可以知道
S?OAB=-S?OBA<0，所以很明显上式是成立的，即此公式也适用于凹多边形。
经过以上分析，给出任意一个多边形，其顶点坐标依次为（x0，y0），（x1，y1），（x2，y2），...，（xn，yn）（其中n=2，3，4，…），则其面积可表示为：
换句话说，若已知多边形边上的每一点坐标，我们就可以求出该多边形的面积，包括如图4所示的曲线图形，当从O点到A点到O点的曲线上每一点坐标都已知时就能求出该曲线图的面积。
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原文地址：https://www.cnblogs.com/66t6/p/9094437.html
