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专题训练之区间DP

时间:2018-06-01 20:43:04      阅读:227      评论:0      收藏:0      [点我收藏+]

标签:algo   net   ring   最大   main   gif   ==   lap   题意   

 

例题:以下例题部分的内容来自https://blog.csdn.net/my_sunshine26/article/details/77141398

一、石子合并问题

1.(NYOJ737)http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=737

分析:我们dp[i][j]来表示合并第i堆到第j堆石子的最小代价。那么状态转移方程为dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j])  (s[i][j-1]<=k<=s[i+1][j])

 其中w[i][j]表示把两部分合并起来的代价,即从第i堆到第j堆石子个数的和,为了方便查询,我们可以用sum[i]表示从第1堆到第i堆的石子个数和,那么w[i][j]=sum[j]-sum[i-1].

用s[i][j]表示区间[i,j]中的最优分割点,那么第三重循环可以从[i,j-1)优化到【s[i][j-1],s[i+1][j]】

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=210;
 7 const ll inf=1e18;
 8 ll dp[maxn][maxn];
 9 ll sum[maxn],a[maxn];
10 int s[maxn][maxn];
11 
12 int main()
13 {
14     int n,i,j,k,x,y,z,len;
15     while ( scanf("%d",&n)!=EOF )
16     {
17         for ( i=1;i<=n;i++ )
18         {
19             for ( j=1;j<=n;j++ ) dp[i][j]=inf;
20             dp[i][i]=0;
21             s[i][i]=i;
22         }
23         sum[0]=0;
24         for ( i=1;i<=n;i++ ) 
25         {
26             scanf("%lld",&a[i]);
27             sum[i]=a[i]+sum[i-1];
28         }
29         for ( len=2;len<=n;len++ )
30         {
31             for ( i=1;i<=n;i++ )
32             {
33                 j=len+i-1;
34                 if ( j>n ) break;
35                 for ( k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++ ) 
36                 {
37                     if ( dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1] )
38                     {
39                         dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
40                         s[i][j]=k;
41                     }
42                 }
43             }
44         }
45         printf("%lld\n",dp[1][n]);
46     }
47     return 0;
48 } 
NYOJ737

 

2.(HDOJ3506)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3506

题意:上一题的升级版,将上一层的线性变成一个圈。这时候我们只需要将N变成n=2*N-1即可,最后ans=min(dp[i][i+n-1])

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=2010;
 7 const ll inf=1e18;
 8 ll dp[maxn][maxn];
 9 ll sum[maxn],a[maxn];
10 int s[maxn][maxn];
11 
12 int main()
13 {
14     int n,i,j,k,x,y,z,len,N;
15     ll ans;
16     while ( scanf("%d",&N)!=EOF )
17     {
18         n=2*N-1;
19         for ( i=1;i<=n;i++ )
20         {
21             for ( j=1;j<=n;j++ ) dp[i][j]=inf;
22             dp[i][i]=0;
23             s[i][i]=i;
24         }
25         sum[0]=0;
26         for ( i=1;i<=N;i++ ) 
27         {
28             scanf("%lld",&a[i]);
29             sum[i]=a[i]+sum[i-1];
30         }
31         for ( i=1;i<N;i++ ) sum[i+N]=a[i]+sum[i+N-1];
32         for ( len=2;len<=N;len++ )
33         {
34             for ( i=1;i<=n;i++ )
35             {
36                 j=len+i-1;
37                 if ( j>n ) break;
38                 for ( k=s[i][j-1];k<=s[i+1][j];k++ )
39                 {
40                     if ( dp[i][j]>dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1] )
41                     {
42                         dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1];
43                         s[i][j]=k;
44                     }
45                 }
46             }
47         }
48         ans=inf;
49         for ( i=1;i<=N;i++ )
50         {
51             j=i+N-1;
52             ans=min(ans,dp[i][j]);
53         }
54         printf("%lld\n",ans);
55     }
56     return 0;
57 } 
HDOJ3506

 

二、括号匹配问题

1.(POJ2955)http://poj.org/problem?id=2955

题意:给出一个的只有‘(‘,‘)‘,‘[‘,‘]‘四种括号组成的字符串,求最多有多少个括号满足题目里所描述的完全匹配。

分析:用dp[i][j]表示区间[i,j]里最大完全匹配数。只要得到了dp[i][j],那么就可以得到dp[i-1][j+1]  dp[i-1][j+1]=dp[i][j]+(s[i-1]于s[j+1]匹配?2:0).

然后利用状态转移方程更新一下区间最优解即可。dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=105;
 7 char s[maxn];
 8 ll dp[maxn][maxn];
 9 
10 int main()
11 {
12     int n,i,j,k,x,y,z,len;
13     while ( scanf("%s",s+1)!=EOF && s[1]!=e )
14     {
15         n=strlen(s+1);
16         memset(dp,0,sizeof(dp));
17         for ( len=2;len<=n;len++ )
18         {
19             for ( i=1;i<=n;i++ )
20             {
21                 j=i+len-1;
22                 if ( j>n ) break;
23                 if ( (s[i]==(&&s[j]==)) || (s[i]==[&&s[j]==]) ) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
24                 for ( k=i;k<j;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
25             }
26         }
27         printf("%lld\n",dp[1][n]);
28     }
29     return 0;    
30 } 
POJ2955

 

2.(NYOJ15)http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=15

分析:最少添加的括号数=总括号-最大匹配的括号数,代码于上一题基本一致

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=105;
 7 char s[maxn];
 8 ll dp[maxn][maxn];
 9 
10 int main()
11 {
12     int n,i,j,k,x,y,z,len,T;
13     scanf("%d",&T);
14     while ( T-- )
15     {
16         scanf("%s",s+1);
17         n=strlen(s+1);
18         memset(dp,0,sizeof(dp));
19         for ( len=2;len<=n;len++ )
20         {
21             for ( i=1;i<=n;i++ )
22             {
23                 j=i+len-1;
24                 if ( j>n ) break;
25                 if ( (s[i]==(&&s[j]==)) || (s[i]==[&&s[j]==]) ) dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2;
26                 for ( k=i;k<j;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]);
27             }
28         }
29         printf("%lld\n",n-dp[1][n]);
30     }
31     return 0;    
32 } 
NYOJ15

 

三、整数划分问题

1.(NYOJ746)http://acm.nyist.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?pid=746

分析:用dp[i][j]表示从第一位到第i位共插入j个乘号后乘积的最大值。根据区间DP的思想我们可以从插入较少乘号的结果算出插入较多乘号的结果。

 方法是当我们要放第j的乘号时枚举放的位置。状态转移方程为dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i])。其中num[i][j]表示从s[i]到s[j]这段连续区间代表的数值。

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 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=20;
 7 ll dp[maxn][maxn];
 8 ll num[maxn][maxn];
 9 
10 int main()
11 {
12     int T,n,m,i,j,k,x,y,z;
13     char s[maxn];
14     scanf("%d",&T);
15     while ( T-- )
16     {
17         scanf("%s%d",s+1,&m);
18         n=strlen(s+1);
19         memset(dp,0,sizeof(dp));
20         for ( i=1;i<=n;i++ )
21         {
22             num[i][i]=s[i]-0;
23             for ( j=i+1;j<=n;j++ ) num[i][j]=num[i][j-1]*10+s[j]-0;
24         }
25         for ( i=1;i<=n;i++ ) dp[i][0]=num[1][i];
26         for ( j=1;j<m;j++ )
27         {
28             for ( i=1;i<=n;i++ )
29             {
30                 for ( k=1;k<i;k++ ) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*num[k+1][i]);
31             }
32         }
33         printf("%lld\n",dp[n][m-1]);
34     }
35     return 0;
36 }
NYOJ746

专题训练之区间DP

标签:algo   net   ring   最大   main   gif   ==   lap   题意   

原文地址:https://www.cnblogs.com/HDUjackyan/p/9123199.html

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