黑红树

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https://zybuluo.com/ysner/note/1177020

题面

\(zsy\)发现黑红树具有一些独特的性质。

• 这是二叉树,除根节点外每个节点都有红与黑之间的一种颜色。
• 每个节点的两个儿子节点都被染成恰好一个红色一个黑色。
• 这棵树你是望不到头的(树的深度可以到无限大)
• 黑红树上的高度这样定义:\[h_{根节点}=0,h_{son}=h_{fa}+1\]

\(zsy\)想从树根顺着树往上爬。他有\(\frac{p}{q}\)的概率到达红色的儿子节点,有 \(1-\frac{p}{q}\)的概率到达黑色节点。
但是他知道如果自己经过的路径是不平衡的,他会马上摔下来。
一条红黑树上的链是不平衡的,当且仅当红色节点与黑色节点的个数之差大于\(1\)。
现在他想知道\(Q\)次他刚好在高度为\(h\)的地方摔下来的概率的精确值 \(\frac{a}{b}\),要求输出\(a\),\(b\)分别对\(k\)取模后的结果。

• \(n\leq10^6,Q\leq10^6,k\leq10^9+7\)（\(n\)代表高度）

  解析

  \(zsy\)显然不可能在奇数层掉下来，因为他在偶数层时肯定红黑节点个数相等。
  看到奇数层\(puts("0\ 0");\)
  对于偶数，设\(dp[i]\)表示在该层活着的概率。（哪像我还把颜色和红黑节点数量差作为状态）
  然后列\(DP\)转移方程
  \[dp[i]=dp[i-2]*\frac{p}{q}*\frac{q-p}{q}*2\]
  （肯定要经过一个红节点和一个黑节点，然后两者可以倒过来，则乘\(2\)）
  于是第\(i\)层挂掉的概率为\(dp[i-2]-dp[i]\)。
  这玩意儿可以\(O(n)\)预处理，然后\(O(Q)\)答完询问，总复杂度为\(O(n)\)
  （当然你要\(O(Qlogn)\)在线快速幂我也拦不住)
  对于乘爆情况，先把\(\frac{2p(q-p)}{q^2}\)约分掉，保证计算过程中不用约分，就可以直接取模了。

黑红树

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原文地址：https://www.cnblogs.com/yanshannan/p/9160335.html