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题目： 已知\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\)

(2)若\(x=0\)是\(f(x)\)的极大值点，求实数\(a\)的值.

想法一：当\(m\rightarrow 0\)时，上图\(h(x)\)在点\((m,h(m))\)处的二阶泰勒展开\(g(x)\rightarrow 2+x-\dfrac{1}{6}x^2\)， 得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(还要验证，此处略去)

想法二：还是以泰勒展开的思想来处理

\(f'(x)=(1+2ax)\ln(1+x)+\dfrac{ax^2-x}{1+x}\Rightarrow f'(0)=0\)恒成立，

\(f''(x)=2ax\ln(1+x)+\dfrac{1+2ax}{1+x}+\dfrac{ax^2+2ax-1}{(1+x)^2}\Rightarrow f''(0)=0\)恒成立，

\(f'''(x)=\dfrac{2a}{1+x}+\dfrac{2a(x+1)-(1+2ax)}{(1+x)^2}+\dfrac{(2ax+2a)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+2ax-1)}{(1+x)^4}\Rightarrow f''(0)=6a+1=0\)恒成立， 得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(还要验证，此处略去)

和它相似的题(我们的押题)，方法一、二和上面一样，方法三如下

2018四川高考数学(全国卷3)理科21题以泰勒公式为命题背景和它的另类解法的瞎谈

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原文地址：https://www.cnblogs.com/xuebajunlutiji/p/9160302.html